Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O,R).Gọi Q là tâm đường tròn Ơ-le của tam giác ,M,N,P lần lượt là giao điểm của (O) với QA,QB,QC.(Q là trung điểm HO với H là trực tâm của tam giác ABC)
$CMR:\dfrac{1}{QM}+\dfrac{1}{QN}+\dfrac{1}{QP} \geq \dfrac{3}{R}$
P/s:Bạn nào có ý tưởng nào cứ nêu ra để tham khảo!
- Chọn hệ tọa độ phức với đơn vị sao cho $(O;R)$ là đường tròn đơn vị. ( $z$ là tọa vị của mỗi điểm $Z$ )
- Ta có tọa vị của điểm trọng điểm $G$ là $\frac{a+b+c}{3}$, ta có điểm $Q$: $q=\frac{3g}{2}=\frac{a+b+c}{2}$
- Phương trình đường thẳng $QA$:$z(\bar{a}-\bar{q})-\bar{z}(a-q)+a\bar{q}-\bar{a}q=0$
- Phương trình giao điểm với đường tròn $z\bar{z}=1$ :
$z^2(\bar{a}-\bar{q})+z(a\bar{q}-\bar{a}q)-(a-q)=0$
- Có $QA$ giao $(O)$ tại hai điểm $A$ và $M$, $a$ và $m$ là 2 nghiệm của phương trình trên:
Theo Viète: $am=-\frac{a-q}{\bar{a}-\bar{q}}\Leftrightarrow m=-\frac{a-q}{a(\bar{a}-\bar{q})}=\frac{bc(a-b-c)}{-bc+ab+ac}$
- $|m-q|=\left|\frac{abc-a^2b-ab^2-a^2c-ac^2-b^2c-bc^2}{2(-bc+ab+ac)}\right|=\frac{1}{2}\left|\frac{(a\bar{b}+\bar{a}b)+(a\bar{c}+\bar{a}c)+(c\bar{b}+\bar{c}b)-1}{-1+\bar{a}b+\bar{a}c}\right|$
- Theo đó: $\frac{1}{QM}+\frac{1}{QN}+\frac{1}{QP}=2\frac{|-1+\bar{a}b+\bar{a}c|+|-1+\bar{b}a+\bar{b}c|+|-1+\bar{c}a+\bar{c}b|}{|(a\bar{b}+\bar{a}b)+(a\bar{c}+\bar{a}c)+(c\bar{b}+\bar{c}b)-1|}$
Và $\frac{3}{R}=3$
- Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
$\frac{1}{QM}+\frac{1}{QN}+\frac{1}{QP}\geq 2\frac{|-3+(a\bar{b}+\bar{a}b)+(a\bar{c}+\bar{a}c)+(c\bar{b}+\bar{c}b)|}{|(a\bar{b}+\bar{a}b)+(a\bar{c}+\bar{a}c)+(c\bar{b}+\bar{c}b)-1|}$
Lại có $(a\bar{b}+\bar{a}b)+(a\bar{c}+\bar{a}c)+(c\bar{b}+\bar{c}b)=2(cos(2A)+cos(2B)+cos(2C))=2(-1-4cosAcosBcosC)=2(-1-4P)$
- Có $P=cosAcosBcosC\in \left(0;\frac{1}{8}\right]$ ( Tam giác nhọn )
- $\frac{1}{QM}+\frac{1}{QN}+\frac{1}{QP}\geq 2\left|\frac{5+8P}{3+8P}\right|\geq 3$ (Bất đẳng thức hiển nhiên đúng :')
- Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}
& \ P=cosAcosBcosC=\frac{1}{8} \\
& \ (-1+\bar{a}b+\bar{a}c)||(-1+\bar{b}a+\bar{b}c)||(-1+\bar{c}a+\bar{c}b)
\end{cases} $ Hay tam giác $ABC$ đều ^^~
(P/S a Phúc)