Chủ đề này có 3 trả lời

[NO1]

cho ma trận A thực phản đối xứng. CMR A + I là ma trận khả nghịch với I là ma trận đơn vị.
p/s: mong các bạn thỏa luận đưa ra giúp mình hướng làm. thanks so much!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 28-12-2011 - 22:31

[traitimcamk7a]

cho ma trận A thực phản đối xứng. CMR A + I là ma trận khả nghịch với I là ma trận đơn vị.
p/s: mong các bạn thỏa luận đưa ra giúp mình hướng làm. thanks so much!

Mình tham gia 2 ý thế này.
1. Ma trận vuông $A=[a_{ij}]$ cấp n được gọi là ma trận phản đối xứng nếu
$a_{ij}+a_{ji}=0, \forall i, j (1 \leq i, j \leq n )$ .
2. Định lý: Nếu A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn $ A^k =0 (k \geq 1)$ thì $ I-A, I+A $ đều là các ma trận khả nghịch.
Mọi người xem liệu nó co liên quan gì với nhau không.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi traitimcamk7a: 04-01-2011 - 11:20

[lovemaths_hn]

Mình tham gia 2 ý thế này.
1. Ma trận vuông $A=[a_{ij}]$ cấp n được gọi là ma trận phản đối xứng nếu
$[a_{ij}]=][a_{ji}], \forall i, j (1 \leq i, j \leq n )$ .
2. Định lý: Nếu A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn $ A^k =0 (k \geq 1)$ thì $ I-A, I+A $ đều là các ma trận khả nghịch.
Mọi người xem liệu nó co liên quan gì với nhau không.

Ma trận khả nghịch thỏa mãn a(ij)=-a(ji).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemaths_hn: 04-01-2011 - 09:30

[quangbinng]

cho ma trận A thực phản đối xứng. CMR A + I là ma trận khả nghịch với I là ma trận đơn vị.
p/s: mong các bạn thỏa luận đưa ra giúp mình hướng làm. thanks so much!

 

  

 

Trước hết ta chứng minh $vAv^T=0$ với $A$ là ma trận phản đối xứng,

thật vậy  $(v^TAv)^T=(v^TA^Tv)=v^T(-A)v=-v^TAv$

nhưng $vAv^T$ lại là ma trận cấp 1 cho nên $-v^TAv=0$

 

để chứng minh $(A+I)$ khả nghịch, ta sẽ chứng minh phương trình $(A+I)v=0$ chỉ có nghiệm tầm thường, tức nếu có $v$ thỏa mãn $(A+I)v=0$ thì $v=0$.

Thật vậy:

Từ $0=(A+I)v$ suy ra $0=v^T(A+I)v=v^TAv+v^Tv=v^Tv$

tức các phần tử đường chéo của $v^Tv$ nói riêng bằng $0$

 nhưng do $v=\begin{bmatrix}x_1 &x_2 &...&x_n\end{bmatrix} $ cho nên $v^Tv$ có các phần tử đường chéo là $x_1^2,x_2^2...,x_n^2$ từ đó suy ra $v=0$ ( đpcm)