Chủ đề này có 4 trả lời

[do cao huy]

Tìm nguyên hàm $\int \dfrac{x\sin x}{\sqrt{3+\sin^2x}}dx$

Hình gửi kèm

• 

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 26/01 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 25-01-2014 - 11:37

[Dahitotn94]

Tìm nguyên hàm $\int \dfrac{x\sin x}{\sqrt{3+\sin^2x}}dx$

Nguyên hàm từng phần: Đặt $I=\int\frac{xsinx}{\sqrt{3+sin^{2}x}}dx$

 

$\left\{\begin{matrix} u=x\\dv=\frac{sinx}{\sqrt{3+sin^{2}x}}dx \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=-arcsin(\frac{cosx}{2}) \end{matrix}\right.$

 

$I=xarcsin(\frac{cosx}{2})+\int arcsin(\frac{cosx}{2})dx=J+K$

 

Tính K

 

$I=\int arcsin(\frac{cosx}{2})dx=\int \frac{1}{sinx}.sinx.arcsin(\frac{cosx}{2})dx$

 

Nguyên hàm từng phần:

 

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=\frac{1}{sinx}\\dv=sinx.arcsin(\frac{cosx}{2})dx \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} du=-\frac{cosx}{sin^{2}x}dx\\v=cosx.arcsin(\frac{cosx}{2})+\sqrt{4-cos^{2}x} \end{matrix}\right.$

 

Khi đó: $K=\frac{1}{sinx}.[sinx.arcsin(\frac{cosx}{2})+\sqrt{4-cos^{2}x}]+\int \frac{cosx}{sin^{2}x}.[sinx.arsin(\frac{cosx}{2})+\sqrt{4-cos^{2}x}]dx=T+H$

 

Ta tính $H=\int \frac{cosx}{sin^{2}x}.[sinx.arsin(\frac{cosx}{2})+\sqrt{4-cos^{2}x}]dx=\int\frac{cosx}{sin^{2}x}sinx.arcsin(\frac{cosx}{2})dx+\int \frac{cosx}{sin^{2}x}.\sqrt{4-cos^{2}x}dx=N+O$

 

Ta tính

 

$N=\int\frac{cosx}{sin^{2}x}sinx.arcsin(\frac{cosx}{2})dx=\int [\frac{-1}{1+cosx}+\frac{1}{sin^{2}x}].sinx.arcsin(\frac{cosx}{2})dx=-\int \frac{-1}

 

{1+cosx}.sinx.arcsin(\frac{cosx}{2})dx+\int \frac{arcsin(\frac{cosx}{2})}{sinx}dx$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dahitotn94: 25-02-2014 - 00:15

[Dahitotn94]

Không tin là bài này không có cận.

[zipienie]

Tìm nguyên hàm $\int \dfrac{x\sin x}{\sqrt{3+\sin^2x}}dx$

 

Theo mình thì bài toán này không thể tìm được nguyên hàm sơ cấp ( các hàm mà có thể có được từ các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng luỹ thừa) vì tích phân có dạng hàm eliptic ( hay còn gọi là tích phân hàm Abel ).