Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $\lim_{N \to \infty} S(\alpha, \beta, N)$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Pirates

Pirates

    Mathematics...

  • Thành viên
  • 642 Bài viết

Cho $\alpha, \beta$ là các số thực dương và:

$$S(\alpha, \beta, N) = \sum_{n = 2}^N n log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k log k}{\beta + (k + 1) log (k + 1)}.$$

Tìm $\lim_{N \to \infty} S(\alpha, \beta, N)$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 07-06-2013 - 21:58

"God made the integers, all else is the work of men"


#2
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng  @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng  @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 10/6 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng  @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#3
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Cho $\alpha, \beta$ là các số thực dương và:

$$S(\alpha, \beta, N) = \sum_{n = 2}^N n log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k log k}{\beta + (k + 1) log (k + 1)}.$$

Tìm $\lim_{N \to \infty} S(\alpha, \beta, N)$.

Cho em mạn phép hỏi ý tác giả ở chỗ tổng kia là $nlog(n)(-1)^{n}$ là có ý gì , chỉ cơ số $10$ hay là ntn , làm em nhầm lẫn 


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#4
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Cho $\alpha, \beta$ là các số thực dương và:

$$S(\alpha, \beta, N) = \sum_{n = 2}^N n log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k log k}{\beta + (k + 1) log (k + 1)}.$$

Tìm $\lim_{N \to \infty} S(\alpha, \beta, N)$.

Giải:

 

Đặt  $U_N=\sum_{n = 2}^N n log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k log k}{\beta + (k + 1) log (k + 1)}$

 

Xét hiệu:

 

$U_{N+1}-U_{N}=\left ( -1 \right )^{N+1}\left ( N+1 \right )\log\left ( N+1 \right )\prod_{k=2}^{N+1}\frac{\alpha+k\log k}{\beta+(k+1)\log (k+1)}$

 

$U_{N+2}-U_{N+1}=\left ( -1 \right )^{N+2}\left ( N+2 \right )\log\left ( N+2 \right )\prod_{k=2}^{N+2}\frac{\alpha+k\log k}{\beta+(k+1)\log (k+1)}$

 

$\Rightarrow \frac{U_{N+2}-U_{N+1}}{U_{N+1}-U_N}=-\frac{N+2}{N+1}\: \log_{N+1}\left ( N+2 \right )\: \frac{\alpha +(N+2)\log (N+2)}{\beta+(N+3)\log(N+3)}=\lambda$ $\Leftrightarrow U_{N+2}-(\lambda+1)U_{N+1}+\lambda U_{N}=0$

 

Dễ dàng tính được $\lim_{N\to +\infty} \lambda=-1$

 

Xét phương trình đặc trưng $X^2-(\lambda+1)X+\lambda=0\Rightarrow \Delta=\left ( 1+\lambda \right )^2-4\lambda=\left ( 1-\lambda \right )^2$

 

Phương trình có 2 nghiệm $\left[\begin{matrix}X_1=\lambda\\X_2=1 \end{matrix}\right.$

 

Dãy có dạng  $U_{N}=C_1X_1^N+C_2X_2^N=C_1\lambda^N+C_2$

 

Mà $U_{2}=2\log2\: \frac{\alpha+2\log2}{\beta+3\log3}=a,\:U_{3}=a -3\log3\: \frac{\alpha+2\log2}{\beta+3\log3}\: \frac{\alpha+3\log3}{\beta+4\log4}=a+b$

 

$\Rightarrow U_{N}=\frac{-b}{1-\lambda} \:\lambda^{N-2}+\frac{a+b-a\lambda}{1-\lambda}$

 

Vì $\lim_{N\to +\infty}\lambda=-1$ nên từ đó suy ra không tồn tại $\lim_{N\to +\infty} U_{N}$

 

P/s: Ham vui thôi! Có gì sai sót mong mọi người chỉ ạ!


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh