Cho $\alpha, \beta$ là các số thực dương và:
$$S(\alpha, \beta, N) = \sum_{n = 2}^N n log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k log k}{\beta + (k + 1) log (k + 1)}.$$
Tìm $\lim_{N \to \infty} S(\alpha, \beta, N)$.
Giải:
Đặt $U_N=\sum_{n = 2}^N n log (n) (-1)^n \prod_{k = 2}^n \dfrac{\alpha + k log k}{\beta + (k + 1) log (k + 1)}$
Xét hiệu:
$U_{N+1}-U_{N}=\left ( -1 \right )^{N+1}\left ( N+1 \right )\log\left ( N+1 \right )\prod_{k=2}^{N+1}\frac{\alpha+k\log k}{\beta+(k+1)\log (k+1)}$
$U_{N+2}-U_{N+1}=\left ( -1 \right )^{N+2}\left ( N+2 \right )\log\left ( N+2 \right )\prod_{k=2}^{N+2}\frac{\alpha+k\log k}{\beta+(k+1)\log (k+1)}$
$\Rightarrow \frac{U_{N+2}-U_{N+1}}{U_{N+1}-U_N}=-\frac{N+2}{N+1}\: \log_{N+1}\left ( N+2 \right )\: \frac{\alpha +(N+2)\log (N+2)}{\beta+(N+3)\log(N+3)}=\lambda$ $\Leftrightarrow U_{N+2}-(\lambda+1)U_{N+1}+\lambda U_{N}=0$
Dễ dàng tính được $\lim_{N\to +\infty} \lambda=-1$
Xét phương trình đặc trưng $X^2-(\lambda+1)X+\lambda=0\Rightarrow \Delta=\left ( 1+\lambda \right )^2-4\lambda=\left ( 1-\lambda \right )^2$
Phương trình có 2 nghiệm $\left[\begin{matrix}X_1=\lambda\\X_2=1 \end{matrix}\right.$
Dãy có dạng $U_{N}=C_1X_1^N+C_2X_2^N=C_1\lambda^N+C_2$
Mà $U_{2}=2\log2\: \frac{\alpha+2\log2}{\beta+3\log3}=a,\:U_{3}=a -3\log3\: \frac{\alpha+2\log2}{\beta+3\log3}\: \frac{\alpha+3\log3}{\beta+4\log4}=a+b$
$\Rightarrow U_{N}=\frac{-b}{1-\lambda} \:\lambda^{N-2}+\frac{a+b-a\lambda}{1-\lambda}$
Vì $\lim_{N\to +\infty}\lambda=-1$ nên từ đó suy ra không tồn tại $\lim_{N\to +\infty} U_{N}$
P/s: Ham vui thôi! Có gì sai sót mong mọi người chỉ ạ!