Chủ đề này có 2 trả lời

[dark templar]

Có bài BĐT này nhìn đơn giản mà mình bó tay rồi,nhờ các bạn cho ý kiến giúp
Cho $x,y$ thỏa $0 \le xy <1$.Chứng minh rằng:
$$\left(\dfrac{2x}{1+x^2} \right)^2+\left(\dfrac{2y}{1+y^2} \right)^2 \le \dfrac{1}{1-xy}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 08-03-2012 - 13:08

[Samurott]

Đầu tiên dùng Cauchy 4 số $$x^{2}+1=x^{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\geq 4\sqrt[4]{\frac{x^{2}}{27}}=\frac{4\sqrt[4]{3x^{2}}}{3}$$

$$\Leftrightarrow \frac{2x}{x^{2}+1}\leq \frac{\sqrt[4]{27x^{2}}}{2}$$

$$\Leftrightarrow (\frac{2x}{x^{2}+1})^{2}\leq \frac{3\sqrt{3}x}{4}$$
chứng minh tương tự với $y$ suy ra $$VT \leq \frac{3\sqrt{3}(x+y)}{4}$$
Vậy BĐT đề bài trở thành BĐT mình nêu ở trên.
Về việc c/m BĐT nêu trên ta xét 2 trường hợp $x,y$ cùng không âm và $x,y$ cùng âm (do $xy$ không âm nên $x,y$ cùng dấu)
$TH1: x,y$ cùng âm suy ra VT BĐT mình nêu ở trên đúng
$TH2: x,y$ cùng không âm
Đặt BĐT mình nêu trên là $(2)$
$$(2) \Leftrightarrow (x+y)(xy-1)\geq \frac{-4}{3\sqrt{3}}$$

$$\Leftrightarrow (x+y)(xy-1)+\frac{4}{3\sqrt{3}}\geq 0 (3)$$
Giờ ta đi c/m bđt $(3)$. Đặt $f(x,y)= VT(3)$
Ta c/m $f(x,y) \geq f(\sqrt{xy},\sqrt{xy}) (4)$ và $f(\sqrt{xy},\sqrt{xy})\geq 0 (5)$. Để c/m $(4)$ ta dùng Cauchy 2 số, còn để c/m $(5)$ ta phân tích VT của $(5)$ thành $$(\sqrt{xy}-\frac{1}{\sqrt{3}})^{2}(\sqrt{xy}+\frac{2\sqrt{3}}{3})\geq 0$$(đúng với mọi xy không âm)
ĐTXR khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Xong rồi đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 23-07-2015 - 06:58

[Samurott]

Để mình đánh lại dùng Cauchy 4 số cho $$x^{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\geq 4\sqrt[4]{\frac{x^{2}}{27}}$$

$$\Leftrightarrow (\frac{2x}{x^{2}+1})^{2}\leq \frac{\sqrt[4]{27x^{2}}}{2}$$ . Sau đó ra BĐT mình đã nêu trên cùng
Xét x,y cùng không âm và x,y cùng âm (xy không âm nên x,y cùng dấu).
x,y cùng âm thì Bđt mình nêu ở trên hiển nhiên đúng
x,y cùng không âm thì ta dồn biến c/m 2 điều sau:
$$f(x,y)=(x+y)(xy-1)+\frac{4}{3\sqrt{3}}\geq f(\sqrt{xy},\sqrt{xy})=2\sqrt{xy}(xy-1)+\frac{4}{3\sqrt{3}}$$
$$f(\sqrt{xy}\sqrt{xy})\geq 0$$
Hai điều này bạn tự c/m nha. ĐTXR khi $x^2=y^2=1/3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 23-07-2015 - 06:59