Chủ đề này có 1 trả lời

[E. Galois]

Tìm GTLN của biểu thức
\[ f(x;y) =\dfrac{{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{\left({a-x}\right)^{2}+y^{2}}}}{{\sqrt{x^{2}+y^{2}+b^{2}}}} \]
trong đó a, b là các hằng số còn x, y là các ẩn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 08-03-2012 - 13:05

[nthoangcute]

Tìm GTLN của biểu thức
\[ f(x;y) =\dfrac{{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{\left({a-x}\right)^{2}+y^{2}}}}{{\sqrt{x^{2}+y^{2}+b^{2}}}} \]
trong đó a, b là các hằng số còn x, y là các ẩn

 

 

 

 

 

 

Xét hàm $f(x,y)=\dfrac{{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{\left({a-x}\right)^{2}+y^{2}}}}{{\sqrt{x^{2}+y^{2}+b^{2}}}}$

 

$f'_x=-{\frac {-a{x}^{2}+a{y}^{2}+a{b}^{2}-x{b}^{2}+x{a}^{2}+x\sqrt {{a}^{2} -2\,ax+{x}^{2}+{y}^{2}}\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}}}{\sqrt {{a}^{2}-2\,ax+{ x}^{2}+{y}^{2}} \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{b}^{2} \right) ^{3/2}}}$

 

$f'_y=-{\frac {y \left( -{b}^{2}+{a}^{2}-2\,ax+\sqrt {{a}^{2}-2\,ax+{x}^{2}+ {y}^{2}}\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}} \right) }{\sqrt {{a}^{2}-2\,ax+{x}^{2} +{y}^{2}} \left( {x}^{2}+{y}^{2}+{b}^{2} \right) ^{3/2}}}$

Do đó, điểm cực trị hàm là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} f'_x=0\\ f'_y=0 \end{matrix}\right.$

Giải hệ phương trình ta được các nghiệm là:

$\{x=a,y=0\}; \left\{ x={\frac {{b}^{2}}{-a+\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}}}},y=0 \right\};\left\{ x=-{\frac {{b}^{2}}{a+\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}}}},y=0 \right\}$

Do đó, $f(x,y)$ đạt cực trị khi và chỉ khi $y=0$

Từ đó có 2 con đường để chọn:

Cách 1: Tìm cực trị của hàm $f(x,0)={\frac {\sqrt {{a}^{2}+{b}^{2}}+\sqrt { \left( a-x \right) ^{2}}}{ \sqrt {{x}^{2}+{b}^{2}}}}$

Cách 2: Tiếp xúc con đường vừa xét:

Đặt $A=f''_{x^2},B=f''_{xy},C=f''_{y^2}$

Với mỗi giá trị $(x_0,y_0)$ của hệ, ta tìm được $A(x_0,y_0),B(x_0,y_0),C(x_0,y_0)$

Nếu $B^2-AC<0$ thì 

+ Nếu $A>0$ thì $f(x,y)$ đạt GTNN tại $(x_0,y_0)$

+ Nếu $A<0$ thì $f(x,y)$ đạt GTLN tại $(x_0,y_0)$

Nếu $B^2-AC>0$ thì $f(x,y)$ không có cực trị tại $(x_0,y_0)$

_________________

P/s: Dùng toán cao cấp vào giải nên hơi khó đỡ !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 27-03-2013 - 15:20