Chủ đề này có 1 trả lời

[a1tranphu]

các bạn mình là mem mới. xin các bạn giúp mình bài này với,minh rat can su tro giup cua cac ban;
chứng minh bất dẳng thúc này đúng với mọi tam giác ABC:
$2\sqrt{2}\left ( \sin \dfrac{A}{2}+\sin \dfrac{B}{2}+\sin \dfrac{C}{2} \right )> \cos \dfrac{A-B}{\sqrt{15}}+\cos \dfrac{B-C}{\sqrt{15}}+\cos \dfrac{C-A}{\sqrt{15}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-12-2011 - 22:34

[lehoanghiep]

Ta có $cos\frac{C}{2}\left ( sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2} \right )$;

$cos\frac{B}{2}\left ( sin\frac{C}{2}+sin\frac{A}{2} \right )$;
$cos\frac{A}{2}\left ( sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2} \right )$.
Cộng vế với vế các bất đảng thức trên ta được
$sin\frac{A+B}{2}+sin\frac{B+C}{2}+sin\frac{C+A}{2}$$<2\left ( sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2} \right )$.
hay $cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2}<2\left ( sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2} \right )$.
Đến đây chỉ cần chứng minh $\sqrt{2}\left ( cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2} \right )>\sum cos\frac{A-B}{\sqrt{15}}$ là xong.
Ta có $cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}=2cos\frac{A+B}{4}cos\frac{A-B}{4}>2.cos\frac{\pi }{4}cos\frac{A-B}{4}=\sqrt{2}cos\frac{A-B}{4}$.
Mặt khác $\frac{\left | A-B \right |}{4}<\frac{\left | A-B \right |}{\sqrt{15}}<\frac{\pi }{2}$.
Suy ra $cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}>\sqrt{2}cos\frac{A-B}{\sqrt{15}}$. (*)
Cộng vế với vế các BĐT tương tự (*) ta thu được đpcm.$\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoanghiep: 20-11-2012 - 17:05