Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq (a-b+c)(a+b-c)+(-a+b+c)(a+b-c)+(-a+b+c)(a-b+c) $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Elym4ever

Elym4ever

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq (a-b+c)(a+b-c)+(-a+b+c)(a+b-c)+(-a+b+c)(a-b+c) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 08-03-2012 - 12:57


#2
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Xin bắn phát đầu tiên
Giải :
Bất đẳng thức là đồng bậc nên ta có thể chuẩn hóa $a + b + c = 1$
Bất đẳng thức
$$\Leftrightarrow \sqrt{abc}(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \ge (1 - 2a)(1 - 2b) + (1 - 2b)(1 - 2c) + (1 - 2c)(1 - 2a)$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{abc}(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \ge 3 - 4(a + b + c) + 4(ab + bc + ca)$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{abc}(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \ge 4(ab + bc + ca) - 1$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{abc}(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \ge 2(ab + bc + ca) - \left (a^2 + b^2 + c^2\right )$$
$$\Leftrightarrow 2 \left (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \right ) \ge 2(ab + bc + ca) - 2\sqrt{abc}(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})$$
$$\Leftrightarrow (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \ge (\sqrt{ab} - \sqrt{bc})^2 + (\sqrt{bc} - \sqrt{ca})^2 + (\sqrt{ca} - \sqrt{ab})^2 (1)$$
Ta có :
$$(a - b )^2 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge c(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 $$
$$(b - c)^2 \ge a(\sqrt{b } - \sqrt{c})^2 $$
$$(c - a)^2 \ge b(\sqrt{c} - \sqrt{a})^2$$
Suy ra $(1)$ đúng.
Bất đẳng thức đã được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 01-04-2012 - 17:50

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#3
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
1 cách làm khác cho bài này :D
Đặt $x=\sqrt{a};y=\sqrt{b};z=\sqrt{c} \Rightarrow x,y,z>0$.Ta viết lại BĐT dưới dạng sau:
$$x^4+y^4+z^4+xyz(x+y+z) \ge 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$$
Theo Schur bậc 4:
$$x^4+y^4+z^4+xyz(x+y+z) \ge xy(x^2+y^2)+yz(y^2+z^2)+zx(z^2+x^2) \overset{AM-GM}{\ge} 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$$.
Bài toán đã được chứng minh xong.Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z \iff a=b=c$.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:
$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq (a-b+c)(a+b-c)+(-a+b+c)(a+b-c)+(-a+b+c)(a-b+c) $

Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại như sau $$a^2+b^2+c^2+\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \ge 2(ab+bc+ca).$$ Do tính thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa cho $abc=1.$ Khi đó theo bất đẳng thức AM-GM, ta có $$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge 3 \sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3=2abc+1.$$ Như vậy ta chỉ cần chứng minh được $$a^2+b^2+c^2+2abc+1 \ge 2(ab+bc+ca).$$ Là một kết quả quen thuộc. :D
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh