Chủ đề này có 4 trả lời

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Cho $a,b,c$ là những số thực dương . Chứng minh rằng :

$\dfrac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\dfrac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\dfrac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$

[Crystal]

Cho $a,b,c$ là những số thực dương . Chứng minh rằng :

$\dfrac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\dfrac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\dfrac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$

Chuẩn hóa: $a+b+c=1$. Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$$\dfrac{\left ( a+1 \right )^{2}}{3a^{2}-2a+1}+\dfrac{\left ( b+1 \right )^{2}}{3b^{2}-2b+1}+\dfrac{\left ( c+1 \right )^{2}}{3c^{2}-2c+1}\leq 8$$
Xét hàm số: $f\left ( x \right )=\dfrac{x^{2}+2x+1}{3x^{2}-2x+1}$, phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_{0}=\dfrac{1}{3}$ là $y=\dfrac{12+4}{3}$
Lúc đó: $$f\left ( x \right )-\dfrac{12x+4}{3}=\dfrac{-\left ( 3x-1 \right )^{2}\left ( 4x+1 \right )}{3\left ( 3x^{2} -2x+1\right )}\leq 0,\; \forall x\in \left ( 0;1 \right )$$
$$\Rightarrow f\left ( x \right )\leq \dfrac{12x+4}{3}$$
Suy ra $$f\left ( a \right )+f\left ( b \right )+f\left ( c \right )\leq \dfrac{1}{3}\left ( 12\left ( a+b+c \right )+12 \right )=8$$
Ta có Đ.P.C.M. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$.

[HÀ QUỐC ĐẠT]

Cho $a,b,c$ là những số thực dương . Chứng minh rằng :

$\dfrac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\dfrac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\dfrac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2}\leq 8$

Đây là bài USAMO 2003
Chuẩn hóa a+b+c=3 ta có:
$\dfrac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}=\dfrac{(a+3)^{2}}{2a^{2}+(3-a)^{2}}=\dfrac{a^{2}+6a+9}{3a^{2}-6a+9}=\dfrac{(a-1)^{2}+8a+8}{3(a-1)^{2}+6}\leq \dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}a$
Tương tự:
$\dfrac{(2b+c+a)^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}\leq \dfrac{4}{3}b$
$\dfrac{(2c+a+b)^{2}}{2c^{2}+(a+b)^{2}}\leq \dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{3}c$
$\Rightarrow \dfrac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}+\dfrac{(2b+c+a)^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}+\dfrac{(2c+a+b)^{2}}{2c^{2}+(a+b)^{2}}\leq 4+\dfrac{4}{3}(a+b+c)=8$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HÀ QUỐC ĐẠT: 11-11-2011 - 19:30

[dark templar]

Đây là bài trong đề thi USAMO.Chúng ta còn có 1 bài toán mạnh hơn:
http://diendantoanho...showtopic=63957

[KietLW9]

Chuẩn hóa a + b + c = 1

Ta cần chứng minh: $\sum_{cyc}\frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}\leqslant 8$ 

Ta có: $\frac{12a+4}{3}-\frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}=\frac{(3a-1)^2(4a+1)}{3(3a^2-2a+1)} \geqslant 0\Rightarrow \frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1} \leqslant \frac{12a+4}{3}$ 

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sum_{cyc}\frac{a^2+2a+1}{3a^2-2a+1}\leqslant\frac{12(a+b+c)+12}{3}=8(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c