$x^{4}-y^{4}+z^{4}+2x^{2}z^{2}+3x^{2}+4z^{2}+1=0$
MoD: Hãy post bài đúng box. Bài này thuộc box Số học.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 06-12-2011 - 22:45
$x^{4}-y^{4}+z^{4}+2x^{2}z^{2}+3x^{2}+4z^{2}+1=0$
Bắt đầu bởi dieunep, 06-12-2011 - 22:21
phương trình nghiệm nguyên
#1
Đã gửi 06-12-2011 - 22:21
dieunep
-
- Thành viên
-
- 9 Bài viết
Lính mới
Tìm x, y, z nguyên:
$x^{4}-y^{4}+z^{4}+2x^{2}z^{2}+3x^{2}+4z^{2}+1=0$
MoD: Hãy post bài đúng box. Bài này thuộc box Số học.
$x^{4}-y^{4}+z^{4}+2x^{2}z^{2}+3x^{2}+4z^{2}+1=0$
MoD: Hãy post bài đúng box. Bài này thuộc box Số học.
- Yagami Raito và toilaab thích
#2
Đã gửi 10-12-2011 - 22:16
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Giải như sau
Chuyển vế được $x^4+z^4+2x^2z^2+3x^2+4z^2+1=y^4$
Suy ra $(x^2+y^2)^2+4(x^2+y^2)+4-(x^2+3)=(x^2+y^2+x)^2-(x^2+3)-(x^2+3)=y^4$
Dễ thấy $(x^2+y^2+1)^2\le (x^2+y^2+x)^2-(x^2+3)<(x^2+y^2+2)^2$ (phá ngoặc ra thì xong ngay)
Từ đó có 2TH
Th1: $(x^2+y^2+1)^2< (x^2+y^2+x)^2-(x^2+3)<(x^2+y^2+2)^2$ thì $(x^2+y^2+1)^2<y^4<(x^2+y^2+2)^2$ suy a $(x^2+y^2+1)<y^2<(x^2+y^2+2)$ vô lý vì khi đó
$y^2$ bị kẹp giữa 2 số nguyên liên tiếp mâu thuẫn là $y^2$ là số nguyên.
Th2: $(x^2+y^2+1)^2=(x^2+y^2+x)^2-(x^2+3)$
Suy ra $2x^2+2z^2=3x^2+4z^2$ suy ra $x=z=0$ suy ra $y=1, y=-1$
Vậy bài toán có nghiệm $\boxed{(x,y,z)=(0,0,1),(0,0,-1)}$
Chuyển vế được $x^4+z^4+2x^2z^2+3x^2+4z^2+1=y^4$
Suy ra $(x^2+y^2)^2+4(x^2+y^2)+4-(x^2+3)=(x^2+y^2+x)^2-(x^2+3)-(x^2+3)=y^4$
Dễ thấy $(x^2+y^2+1)^2\le (x^2+y^2+x)^2-(x^2+3)<(x^2+y^2+2)^2$ (phá ngoặc ra thì xong ngay)
Từ đó có 2TH
Th1: $(x^2+y^2+1)^2< (x^2+y^2+x)^2-(x^2+3)<(x^2+y^2+2)^2$ thì $(x^2+y^2+1)^2<y^4<(x^2+y^2+2)^2$ suy a $(x^2+y^2+1)<y^2<(x^2+y^2+2)$ vô lý vì khi đó
$y^2$ bị kẹp giữa 2 số nguyên liên tiếp mâu thuẫn là $y^2$ là số nguyên.
Th2: $(x^2+y^2+1)^2=(x^2+y^2+x)^2-(x^2+3)$
Suy ra $2x^2+2z^2=3x^2+4z^2$ suy ra $x=z=0$ suy ra $y=1, y=-1$
Vậy bài toán có nghiệm $\boxed{(x,y,z)=(0,0,1),(0,0,-1)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 10-12-2011 - 22:18
- Zaraki, 123123talackoka, dieunep và 4 người khác yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình nghiệm nguyên
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
giải phương trình nghiệm nguyên $x^y=z$ biết $x,y,z$ nguyên dươngBắt đầu bởi Tuan Duong, 11-02-2016  phương trình nghiệm nguyên và .
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
