Chủ đề này có 2 trả lời

[truongson463]

$a,b,c>0 \text{ and } a+b+c=1. \text{Proove:} 0\leq ab+bc+ca-2abc\leq \dfrac{7}{27}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 11-12-2011 - 12:01

[Crystal]

$a,b,c>0 \text{ and } a+b+c=1. \text{Proove:} 0\leq ab+bc+ca-2abc\leq \dfrac{7}{27}$

Ta có: $$ab + bc + ca - 2abc = a\left( {b + c} \right) + bc - 2abc$$
Cố định $a$ xét $$f\left( {bc} \right) = a\left( {1 - a} \right) + bc - 2abc - \dfrac{7}{{27}}$$
$$bc \le \dfrac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}{4} \Rightarrow bc \in \left[ {0,\dfrac{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}{4}} \right]$$
Khi đó: $$f\left( 0 \right) = a\left( {1 - a} \right) - \dfrac{7}{{27}} = - {a^2} + a - \dfrac{7}{{27}} < - \left( {{a^2} - a + \dfrac{1}{4}} \right) = - {\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) < 0$$
$$f\left( {\dfrac{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}{4}} \right) = a\left( {1 - a} \right) + \dfrac{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}{4} - 2a\dfrac{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}{4} - \dfrac{7}{{27}} = - \dfrac{1}{2}{\left( {a - \dfrac{1}{3}} \right)^2}\left( {a + \dfrac{1}{6}} \right) \le 0$$
$$ \Rightarrow f\left( {\dfrac{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}{4}} \right) \le 0$$
Từ đó suy ra đpcm.
_________________________________________________________________________________
Bài này còn có các cách chứng minh khác. Bạn suy nghĩ cho các cách đó nhé.

[Ispectorgadget]

Cách 2:
Theo giả thiết ta có: a,b,c nằm trong đoạn [0;1] do đó
$ab + bc + ac - 2abc \ge 3(abc)^{\dfrac{2}{3}} - 2abc \ge 3abc - 2abc = abc \ge 0$
Theo BĐT Schur ta có:
abc$\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(1-2a)(1-2b)(1-2c)\Leftrightarrow \dfrac{9abc+1}{4}\geq ab+bc+ac$
ab+bc+ac-2abc$\leq abc(\dfrac{9}{4}-2)+\dfrac{1}{4}=\dfrac{abc}{4}+\dfrac{1}{4}\leq \dfrac{(a+b+c)^3}{4.27}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{27}$