Chủ đề này có 10 trả lời

[vietfrog]

Mình muốn mọi người trao đổi chút về câu này.
Trước tiên hãy cứ post lời giải của các bạn lên đã nhé!

Câu V ( Khối D_2004)
Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm:
\[{x^5} - {x^2} - 2{\rm{x}} - 1 = 0\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 13-12-2011 - 19:35

[T*genie*]

Mình muốn mọi người trao đổi chút về câu này.
Trước tiên hãy cứ post lời giải của các bạn lên đã nhé!

Câu V ( Khối D_2004)
Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm:
\[{x^5} - {x^2} - 2{\rm{x}} - 1 = 0\]

Việt làm anh hơi tò mò vì nhìn qua qua thấy hàm có vẻ cũng không quá "nguy hiểm" . Anh nhìn thấy một hướng thế này :
Xét $$ f(x) = x^5-x^2-2x-1 = x^5 - ( x+1)^2$$

Dễ thấy nếu $x \leq 0$ thì $f(x) < 0$. Nếu $0 < x <1$ thì $x^5 < x^2 < (x+1)^2$ nên $f(x) <0$. Còn nếu $x \geq 1$ ta sẽ chứng minh được $f(x)$ tăng nghiêm ngặt bằng cách xét $f''(x)$ và $f'(x)$. Mặt khác $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(+\infty) = +\infty$ nên có thể kết luận $f(x) = 0$ có một nghiệm duy nhất thuộc $[1, +\infty)$

[vietfrog]

Hìhì. Em tỏ ra nguy hiểm tí để thu hút sự chú ý .
Nhưng bài này em thấy có nhiều vấn đề đáng lưu tâm.
Có một lời giải như sau:
Xét: \[f(x) = {x^5} - {x^2} - 2x - 1\]
Có $f(1).f(2)<0$, từ tính chất hàm liên tục thì $f(x)=0$ có nghiệm thuộc $(1,2)$.
Ta có: \[f'(x) = 5{x^4} - 2x - 2;\,\,f''(x) = 20{x^3} - 2\]
\[f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{10}}}}\]
Xét dấu $f''(x)$ ta có được $f'(x)$ đồng biến trên $(1,2)$. Từ đó có được $f'(x)>f'(1)=1>0$
Suy ra PT có nghiệm duy nhất, nghiệm đó thuộc $(1,2)$.
----- Lời giải trên có thực chính xác?

________________________________________________
P/s: Giải đáp xong câu hỏi trên, mọi người thử tìm cách không xử dụng đạo hàm nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 19-12-2011 - 00:38

[Nesbit]

P/s: Giải đáp xong câu hỏi trên, các bạn (lớp 11) thử tìm cách không xử dụng đạo hàm nhé.

Coi bộ mặc dù rất cố gắng thu hút sự chú ý, nhưng nỗ lực của Việt đã không được đền đáp
Có cách không dùng đạo hàm đấy, nhưng vì câu hỏi dành cho các bạn lớp 11 nên anh không tiện post

[vietfrog]

Em cũng thấy hơi nản anh Khuê ạ. . Vẫn còn câu hỏi ''Sai ở đâu?'' dành cho tất cả mọi người đó.
Thêm một câu hỏi nữa cho bài này.
Có một lời giải nữa như sau:

\[\begin{array}{l}
{x^5} - {x^2} - 2x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^5} = {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0
\end{array}\]
\[ \Rightarrow {x^5} \ge 0 \Rightarrow x \ge 0 \Rightarrow \left( {x + 1} \right) \ge 1 \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 1 \Rightarrow {x^5} \ge 1 \Rightarrow x \ge 1\]
Với $x \ge 1$, ta tính $f'(x),f''(x)$ sẽ chứng minh được pt $f(x)=0$ có nghiệm duy nhất.
Do $f(x)$ liên tục và $f(1).f(2)<0$ nên pt có nghiệm duy nhất.
Lời giải này thì thế nào?

Vậy là có 2 lời giải cần xem xét.
________________
P/s: Không biết cách của anh Khuê muốn nói là cách nào? Anh post nhé, phía trên em sửa đối tượng rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 19-12-2011 - 00:40

[Nesbit]

Lời giải 1 thì chỉ chứng minh được có nghiệm duy nhất trên $(1;2)$, không phải trên $\mathbb{R}$. Lời giải 2 thì ý tưởng giống như những gì anh Thạch đã post (nhưng mà trình bày hơi lung tung, thi ĐH là dễ mất điểm lắm đó em).

Ngoài ra, nếu không muốn dùng đạo hàm thì cũng rất đơn giản: như lập luận ở trên, ta chỉ cần xét $x > 1$. Phương trình đã cho có thể viết lại thành $x^5=(x+1)^2$, hay $f(x)=0$ với $f(x)=x^{5/2}-x-1$. Vì $f$ liên tục và $f(1)\cdot f(2)<0$ nên $f$ có nghiệm thuộc đoạn $(1;2)$. Hơn nữa, vì $f(x)=x(x^{3/2}-1)-1$ nên hiển nhiên $f$ đồng biến trên $(1,+\infty)$, cho nên nghiệm đó là duy nhất.

[T*genie*]

Anh quên mất topic này, quay lại thì Khuê đã trả lời hết . Chỉ bổ sung là có 1 câu trong lời giải 2 anh thấy không ổn lắm (hoặc do em viết nhầm) ..

Với $x \ge 1$, ta tính $f'(x),f''(x)$ sẽ chứng minh được pt $f(x)=0$ có nghiệm duy nhất.

sẽ chứng minh được $f(x)$ đồng biến trên $[1;+\infty)$ thì dúng hơn.

[vietfrog]

\[\begin{array}{l}
{x^5} - {x^2} - 2x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^5} = {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0
\end{array}\]
\[ \Rightarrow {x^5} \ge 0 \Rightarrow x \ge 0 \Rightarrow \left( {x + 1} \right) \ge 1 \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 1 \Rightarrow {x^5} \ge 1 \Rightarrow x \ge 1\]

Còn cái suy luận phía trên thì sao ạ. Nếu em tiếp tục đánh giá:

\[\begin{array}{l}
\Rightarrow {x^5} \ge 0 \Rightarrow x \ge 0 \Rightarrow \left( {x + 1} \right) \ge 1 \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 1 \Rightarrow {x^5} \ge 1 \Rightarrow x \ge 1\\
\Rightarrow x + 1 \ge 2 \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 4 \Rightarrow {x^5} \ge 4 \Rightarrow x \ge \sqrt[5]{4}... \Rightarrow x \to + \infty
\end{array}\]
Như vậy thì khoảng cần xét của $x$ là khoảng nào đây ạ?
Và như thế thì nghiệm $x \in \left( {1;2} \right)$ liệu có còn thỏa mãn

[Nesbit]

Còn cái suy luận phía trên thì sao ạ. Nếu em tiếp tục đánh giá:

\[\begin{array}{l}
\Rightarrow {x^5} \ge 0 \Rightarrow x \ge 0 \Rightarrow \left( {x + 1} \right) \ge 1 \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 1 \Rightarrow {x^5} \ge 1 \Rightarrow x \ge 1\\
\Rightarrow x + 1 \ge 2 \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 4 \Rightarrow {x^5} \ge 4 \Rightarrow x \ge \sqrt[5]{4}... \Rightarrow x \to + \infty
\end{array}\]
Như vậy thì khoảng cần xét của $x$ là khoảng nào đây ạ?
Và như thế thì nghiệm $x \in \left( {1;2} \right)$ liệu có còn thỏa mãn

Sai cơ bản. Em thử tiếp tục như thế xem nó có tiến tới vô cùng không

[vietfrog]

Anh Khuê nhòm phát là phát hiện ra ngay rồi .
Em đi đố nhiều người cắn bút mãi mới phát hiện ra.
@anh Khuê: Em gây sự chú ý cũng hiệu quả đấy chứ , 2 anh Admin đều tham gia
Thank các anh!

[hungnp]

Có một lời giải như sau:
Xét: \[f(x) = {x^5} - {x^2} - 2x - 1\]
Có $f(1).f(2)<0$, từ tính chất hàm liên tục thì $f(x)=0$ có nghiệm thuộc $(1,2)$.
Ta có: \[f'(x) = 5{x^4} - 2x - 2;\,\,f''(x) = 20{x^3} - 2\]
\[f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{10}}}}\]
Xét dấu $f''(x)$ ta có được $f'(x)$ đồng biến trên $(1,2)$. Từ đó có được $f'(x)>f'(1)=1>0$
Suy ra PT có nghiệm duy nhất, nghiệm đó thuộc $(1,2)$.
----- Lời giải trên có thực chính xác?
 

Không chính xác ở chỗ bạn này chỉ mới chứng minh được pt có đúng 1 nghiệm trên đoạn $[1;2]$ chứ chưa phải trên $\mathbb{R}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungnp: 02-09-2013 - 15:07