Mọi người giúp em chứng minh với, em không biết chứng minh thế nào cho ngắn nhất.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 26-12-2011 - 11:21
Bất đẳng thức Nesbit cho 4 biến $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\geq 2$$
2 Bình chọn
Bắt đầu bởi Lê Đỗ Thành Đạt, 25-12-2011 - 23:12
#1
Đã gửi 25-12-2011 - 23:12
Lê Đỗ Thành Đạt
-
- Thành viên
-
- 64 Bài viết
Hạ sĩ
Cho a,b,c,d>0. Chứng minh:$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\geq 2$
Mọi người giúp em chứng minh với, em không biết chứng minh thế nào cho ngắn nhất.
Mọi người giúp em chứng minh với, em không biết chứng minh thế nào cho ngắn nhất.
- võ triết huỳnh linh yêu thích
#2
Đã gửi 26-12-2011 - 14:19
Nguyễn Hưng
-
- Thành viên
-
- 140 Bài viết
Trung sĩ
Theo mình thì giải bằng Cauchy-Schwarz cũng khá ngắn gọn.
Ta có
\[\dfrac{{{a^2}}}{{ab + ac}} + \dfrac{{{b^2}}}{{bc + bd}} + \dfrac{{{c^2}}}{{cd + ca}} + \dfrac{{{d^2}}}{{da + db}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c + d} \right)}^2}}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) + 2ac + 2bd}}\]
Lại có
\[\dfrac{{{{\left( {a + b + c + d} \right)}^2}}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) + 2ac + 2bd}} = \dfrac{{2\left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) + {{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) + 2ac + 2bd}} \ge \dfrac{{2\left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) + 4ac + 4bd}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) + 2ac + 2bd}} \ge 2\]
Ta có
\[\dfrac{{{a^2}}}{{ab + ac}} + \dfrac{{{b^2}}}{{bc + bd}} + \dfrac{{{c^2}}}{{cd + ca}} + \dfrac{{{d^2}}}{{da + db}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c + d} \right)}^2}}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) + 2ac + 2bd}}\]
Lại có
\[\dfrac{{{{\left( {a + b + c + d} \right)}^2}}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) + 2ac + 2bd}} = \dfrac{{2\left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) + {{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) + 2ac + 2bd}} \ge \dfrac{{2\left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) + 4ac + 4bd}}{{\left( {a + c} \right)\left( {b + d} \right) + 2ac + 2bd}} \ge 2\]
- Zaraki, võ triết huỳnh linh, Tham Lang và 5 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
