có bạn nào giải giúp mình bài này với:
Cho $A = \left( {{a_{ij}}} \right)$ là ma trận vuông cấp $n$ thỏa mãn ${A^2} = A$, tính tổng ${a_{11}} + {a_{22}} + ... + {a_{nn}}$
Đây là lời giải:
Xét phép biến đổi tuyến tính $f$ trong $\mathbb{R}^{n}$. Kí hiệu $A$ ma trận của phép biến đổi này trong hệ cơ sở ${e_1},{e_2},...,{e_n}$
Ta biết rằng ${a_{11}} + {a_{22}} + ... + {a_{nn}} = Tr\left( A \right)$ là số đối của hệ số ${\lambda ^1}$ trong đa thức $\det \left( {\lambda E - A} \right)$ và nó không phụ thuộc vào cách chọn cơ sở trong $\mathbb{R}^{n}$.
Mặt khác, ta có: $\mathbb{R}^{n}=kerf\oplus f\left ( \mathbb{R}^{n} \right ) $. Hai không gian này lần lượt có số chiều là $n-r, r$.
Chọn trong $ker f$ một cơ sở là ${\overline e _1},{\overline e _2},...,{\overline e _{n - r}}$ và trong $f\left ( \mathbb{R}^{n} \right )$ một cơ sở ${\overline e _{n - r + 1}},{\overline e _{n - r + 2}},...,{\overline e _n}$
Khi đó: ${\left\{ {{{\overline e }_k}} \right\}_{k = \overline {1,n} }}$ là cơ sở trong $\mathbb{R}^{n}$. Ta có:
$$f\left( {{{\overline e }_k}} \right) = \left\{ \begin{array}{l}
0,\,\,\,\,\,\,k = \overline {1,n - r} \\
{\overline e _k},\,\,\,\,k = \overline {n - r + 1,n}
\end{array} \right.$$
Như vậy, trong cơ sở mới ta có ma trận:
$$\overline A = \left( \begin{array}{l}
0\,\,\,\,\,\,0\\
0\,\,\,\,{E_r}
\end{array} \right)$$
Suy ra: $$Tr\left( f \right) = 1 + 1 + ... + 1 = r$$
Do đó: $$\boxed{{a_{11}} + {a_{22}} + ... + {a_{nn}} = r}$$
