Đến nội dung

Hình ảnh

$ 9(a^3+b^3+c^3)+17(ab^2+bc^2+ca^2)+33abc $

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Cho $a,b,c \in [1, 2]$ là các số thực. Chứng minh rằng
\[9(a^3+b^3+c^3)+17(ab^2+bc^2+ca^2)+33abc\ge 37(a^2b+b^2c+c^2a)\]
Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 06-01-2012 - 12:31

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
Hoang Long Le

Hoang Long Le

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết

Cho $a,b,c \in [1, 2]$ là các số thực. Chứng minh rằng
\[9(a^3+b^3+c^3)+17(ab^2+bc^2+ca^2)+33abc\ge 37(a^2b+b^2c+c^2a)\]
Đẳng thức xảy ra khi nào ?

 Không mất tính tổng quát, giả sử $a=\min \{ a,b,c \}$

 Khi đó, đặt $b=a+x$ và $c=a+y$ thì $x,y\geq 0$ , khai triển bậc 3 khá dễ, ta có :

     $\textrm{BĐT}\Leftrightarrow 7a(x^2-xy+y^2)+9x^3-37x^2y+17x^2y+9y^3=f(a)\geq 0$

 Vì $x^2-xy+y^2\geq 0$ và $a\geq 1$ nên $f(a)\geq f(1)$

 Vì vậy ta chỉ cần chứng minh :

     $9x^3+(7-37y)x^2+(17y^2-7y)x+9y^3+7y^2=g(x)\geq 0$

 Có $g'(x)=27x^2+x(14-74y)+y(-7+17y)$

     Xét $\Delta _{g'(x)}=28(130y^2-47y+7)>0$ nên $g'(x)>0$

 $\Rightarrow$ $g(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ $\Rightarrow$ $g(x)\geq g(0)=9y^3+7y^2\geq 0$

 Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

 Dấu bằng xảy ra khi $x=y=0$ hay $a=b=c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 29-10-2015 - 21:43

IM LẶNG

#3
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài này còn có cách giải khác bằng S-O-S kèm theo chia để trị, $a,b,c\in [1,2]$ ta có thể coi $a,b,c$ như là ba cạnh của một tam giác. Từ đó đánh giá dễ hơn.


  • TMW yêu thích

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4
TMW

TMW

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết

Bài này còn có cách giải khác bằng S-O-S kèm theo chia để trị, $a,b,c\in [1,2]$ ta có thể coi $a,b,c$ như là ba cạnh của một tam giác. Từ đó đánh giá dễ hơn.

hông hiểu






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh