Chủ đề này có 1 trả lời

[Zaraki]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh \[\dfrac{ab(a^2+b^2)}{a^2+b^2+ac+bc}+\dfrac{bc(b^2+c^2)}{b^2+c^2+ba+ca}+\dfrac{ca(c^2+a^2)}{c^2+a^2+cb+ab}\le \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\]

[duongvanhehe]

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh \[\dfrac{ab(a^2+b^2)}{a^2+b^2+ac+bc}+\dfrac{bc(b^2+c^2)}{b^2+c^2+ba+ca}+\dfrac{ca(c^2+a^2)}{c^2+a^2+cb+ab}\le \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
$a^{2}+b^{2}+c^{2}-(ab+bc+ca)+\sum (ab-\frac{2ab(a^{2}+b^{2})}{a^{2}+b^{2}+c(a+b)})\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}+\sum \frac{ab(ac+bc-a^{2}-b^{2})}{a^{2}+b^{2}+c(a+b)}\geq 0\Leftrightarrow \sum \left ( \frac{1}{2}-\frac{a(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+abc)}{(a^{2}+b^{2}+ca+cb)(a^{2}+c^{2}+ab+cb)} \right ).(b-c)^{2}\geq 0\Leftrightarrow S_{a}(b-c)^{2}+S_{b}(c-a)^{2}+S_{c}(a-b)^{2}\geq 0$
Giả sử $a\geq b\geq c$ thì dễ thấy $S_{c}\geq S_{b}\geq S_{a}$
Nên ta chỉ cần chứng minh được $S_{b}+ S_{a}\geq 0$ là xong.Tương đương :
$1\geq \frac{a(abc+\sum ab(a+b))}{(a^{2}+b^{2}+ca+cb)(a^{2}+c^{2}+ba+bc)}+\frac{b(abc+\sum ab(a+b))}{(b^{2}+c^{2}+ab+ac)(a^{2}+b^{2}+ac+bc)}$
Quy đồng và khai triển BĐT trên rồi đưa về dạng $S_{1}.c^{5}+S_{2}.c^{4}+S_{3}.c^{3}+S_{4}.c^{2}+S_{5}.c+S_{6}\geq 0$ Trong đó $S_{1},S_{2},S_{3},S_{4},S_{5}$ đều không âm nên ta chỉ cần chứng minh BĐT khi $c=0$.Hay là $1\geq \frac{a.ab(a+b)}{(a^{2}+ab)(a^{2}+b^{2})}+\frac{b.ba(b+a)}{(b^{2}+ab)(a^{2}+b^{2})}\Leftrightarrow 1\geq \frac{2ab}{a^{2}+b^{2}}\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$
(Luôn đúng)$\Rightarrow đpcm$