Chủ đề này có 3 trả lời

[vo van duc]

Tìm tất cả các số thực a,b sao cho: $\begin{bmatrix} a & -b\\ b& a \end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix} \sqrt{3} & -1\\ 1 & \sqrt{3} \end{bmatrix}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 20-01-2012 - 09:03

[alex_hoang]

Tìm tất cả các số thực a,b sao cho: $\begin{bmatrix} a & -b\\ b& a \end{bmatrix}^{4}=\begin{bmatrix} \sqrt{3} & -1\\ 1 & \sqrt{3} \end{bmatrix}$

Bài giải
Ta đặt

\[A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&{ - b}\\b&a\end{array}} \right]\]

\[{A^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&{ - b}\\b&a\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&{ - b}\\b&a\end{array}} \right] = \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} - {b^2}}&{ - 2ab}\\{2ab}&{{a^2} - {b^2}}\end{array}} \right]\]

\[{A^3} = {A^2}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} - {b^2}}&{ - 2ab}\\{2ab}&{{a^2} - {b^2}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&{ - b}\\b&a\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^3} - 3a{b^2}}&{{b^3} - 3{a^2}b}\\{3{a^2}b - {b^3}}&{{a^3} - 3a{b^2}}\end{array}} \right]\]

\[{A^4} = {A^3}A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^3} - 3a{b^2}}&{{b^3} - 3{a^2}b}\\{3{a^2}b - {b^3}}&{{a^3} - 3a{b^2}}\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a&{ - b}\\b&a\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2}}&{{b^3}a - {a^3}b}\\{{a^3}b - {b^3}a}&{{a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2}}\end{array}} \right]\]
Công việc còn lại của ta là giải hệ phương trình

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} = \sqrt 3 }\\{{a^3}b - {b^3}a = 1}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{({a^2} - {b^2})}^2} - 4{a^2}{b^2} = \sqrt 3 }\\{ab({a^2} - {b^2}) = 1}\end{array}} \right.\]
Hệ này đơn giản rồi

P/s:Em mới học về phần này mong các anh ,chị giúp đỡ nhiều hơn

[1110004]

do soạn trên diễn đàn khó quá các bạn xem file nha!!

File gửi kèm

•  Giải ma tran.doc   38K   196 Số lần tải

[vo van duc]

"Mình giải theo hướng khác nghe!

Chéo hóa ma trận $\begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1\\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$ ta được

$\begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1\\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ i & -i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sqrt{3}-i & 0\\ 0 & \sqrt{3}+i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ i & -1 \end{pmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1\\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ i & -i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sqrt{3}-i & 0\\ 0 & \sqrt{3}+i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{-i}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \end{pmatrix}$

Xét hai số $x,y\in \mathbb{C}$ sao cho $\left\{\begin{matrix} x^{4}=\sqrt{3}-i\\ y^{4}=\sqrt{3}+i \end{matrix}\right.$ (hay nói cách khác x, y là các căn bậc 4 của 2 số đó)

Vậy ma trận cần tìm có dạng $A=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ i & -i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x & 0\\ 0 & y \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{-i}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2}(x+y) & \frac{i}{2}(x+y)\\ \frac{i}{2}(x-y) & \frac{1}{2}(x+y) \end{pmatrix}$

(do $A^{4}=\begin{pmatrix} \sqrt{3} & -1\\ 1 & \sqrt{3} \end{pmatrix}$

Chọn $a=\frac{1}{2}(x+y)$, $b=\frac{i}{2}(x-y)$ (x,y là hai số được chọn ở trên. Nếu đề yêu cầu $a,b\in \mathbb{C}$ thì bài toán giải xong. Ycbt là a,b thực nên ta phải chọn x, y thích hợp (dành cho các bạn không khó đâu). hết"
......................................................................
Trên đây là nguyên văn lời giải của bạn "1110004".
Mọi người thảo luận thêm đi nào!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 10-01-2013 - 02:48