Chủ đề này có 6 trả lời

[huyentrang97]

1/ Cho a,b,c $\geq$0 ,t/m:$a^{2} +4b^{2}+9c^{2}=14
CMR: 3b+8c+abc\leq 12$
2/ Cho a,b,c >0 t/m:$2\leq c\leq 3;\frac{b}{2}+\frac{3}{c}\geq 2;a+\frac{b}{2}+\frac{3}{c}\geq 3$
CMR: $c^{2}\leq a^{2}+b^{2}+4$
----------------------------
Bạn nên xem kĩ:

$\to$ Cách gõ $\LaTeX$ trên Diễn đàn

$\to$ Gõ thử công thức toán

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 21-01-2012 - 15:05

[Crystal]

1/ Cho a,b,c $\geq$0 ,t/m:$a^{2} +4b^{2}+9c^{2}=14
CMR: 3b+8c+abc\leq 12$

Ta có $$3b+8c+abc+24\leq\sqrt{\left ( 3b^{2}+8c^{2} +b^{2}c^{2}+24\right )\left ( a^{2}+35 \right )} = \sqrt{\left ( a^{2}+35 \right )\left ( b^{2}+8 \right )\left ( c^{2}+3 \right ) }$$

Mặt khác $$({a^2} + 35)\left( {{b^2} + 8} \right)\left( {{c^2} + 3} \right) = \frac{{({a^2} + 35)(4{b^2} + 32)(9{c^2} + 27)}}{{36}} \leqslant {\left( {\frac{{{a^2} + 35 + 4{b^2} + 32 + 9{c^2} + 27}}{3}} \right)^3}\frac{1}{{36}} = {36^2}$$
$$\Rightarrow VT+24\leq 36\Rightarrow 3b+8c+abc\leq 12\,\,\text{ (đpcm)}$$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a=b=c=1$

[perfectstrong]

1/ Cho a,b,c $\geq$0 ,t/m:$a^{2} +4b^{2}+9c^{2}=14
CMR: 3b+8c+abc\leq 12$

Lời giải 2:
Viết lại BĐT cần chứng minh:
\[6b + 16c + 2abc \le 24\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
VT \le 3\left( {{b^2} + 1} \right) + 8\left( {{c^2} + 1} \right) + 2abc = 3{b^2} + 8{c^2} + 2abc + 11 \\
= {a^2} + 4{b^2} + 9{c^2} - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 2abc + 11 = 2abc - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 25 \\
\end{array}\]
Do đó, ta chỉ cần chứng minh:
\[\begin{array}{l}
2abc - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \le - 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 1 + 2abc \\
\Leftrightarrow 14\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 14 + 28abc \\
\Leftrightarrow \left( {{a^2} + 4{b^2} + 9{c^2}} \right) + 13{a^2} + 10{b^2} + 5{c^2} \ge 14 + 28abc \\
\Leftrightarrow 13{a^2} + 10{b^2} + 5{c^2} \ge 28abc \\
\Leftrightarrow \left( {13{a^2} + 10{b^2} + 5{c^2}} \right)\sqrt {{a^2} + 4{b^2} + 9{c^2}} \ge 28\sqrt {14} abc\left( * \right) \\
\end{array}\]
Mà theo BĐT AM-GM, ta có:
\[\begin{array}{l}
13{a^2} + 10{b^2} + 5{c^2} \ge 28\sqrt[{28}]{{{a^{26}}{b^{20}}{c^{10}}}} \\
{a^2} + 4{b^2} + 9{c^2} \ge 14\sqrt[{14}]{{{a^2}{b^8}{c^{18}}}} \\
\Rightarrow \left( {13{a^2} + 10{b^2} + 5{c^2}} \right)\sqrt {{a^2} + 4{b^2} + 9{c^2}} \ge 28\sqrt {14} \sqrt[{28}]{{{a^{26}}{b^{20}}{c^{10}}}}.\sqrt {\sqrt[{14}]{{{a^2}{b^8}{c^{18}}}}} = 28\sqrt {14} abc \\
\end{array}\]
Nên (* ) đúng hay ta có đpcm.

[huyentrang97]

thanks anh nhung tai sao co the nhan hai ve vs $\sqrt{a^{2}+4b^{2}+9c^{2}}$ dc a

_____
MOD: Vùi lòng gõ tiếng Việt có dấu!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 21-01-2012 - 21:44

[anh qua]

thanks anh nhung tai sao co the nhan hai ve vs $\sqrt{a^{2}+4b^{2}+9c^{2}}$ dc a

$\sqrt{a^{2}+4b^{2}+9c^{2}}= \sqrt{14}$
p/s: bài 30-04-2011

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 21-01-2012 - 21:32

[perfectstrong]

thanks anh nhung tai sao co the nhan hai ve vs $\sqrt{a^{2}+4b^{2}+9c^{2}}$ dc a

_____
MOD: Vùi lòng gõ tiếng Việt có dấu!!

Đây là cách để đồng bậc 2 vế.

[huyentrang97]

Vậy còn bài 2