Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Cho các số không âm $a, b, c$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt[3]{\dfrac{a}{b + c}} + \sqrt[3]{\dfrac{b}{c + a}} + \sqrt[3]{\dfrac{c}{a + b}} \ge 2\sqrt{\dfrac{abc}{(a + b)(b + c)(c + a)} + 1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 03-07-2012 - 12:18

[duongvanhehe]

Đặt $x=a^{\frac{2}{3}},y=b^{\frac{2}{3}},z=c^{\frac{2}{3}}$ ,Ta sẽ chứng minh:
$\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}\geq \sqrt{\frac{x}{y+z}}\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{b+c} \right )^{2}\geq \left ( \frac{x}{y+z} \right )^{3}\Leftrightarrow (y+z)^{3}\geq (b+c)^{2}\Leftrightarrow 3yz(y+z)\geq 2bc$.(Luôn đúng theo AM-GM)
$\Rightarrow \sum \sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}\geq \sum \sqrt{\frac{x}{y+z}}$.
Lại có:$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{1}{8}(x+y)(y+z)(z+x)(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}})(b^{\frac{1}{3}}+c^{\frac{1}{3}})(c^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{3}})\geq (abc)^{\frac{1}{3}}(x+y)(y+z)(z+x)= abc\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}
\Rightarrow \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq \frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh được:
$\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\geq 2\sqrt{1+\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}}
\Leftrightarrow \sum \frac{x}{y+z}+2\sum \sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}\geq 4+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
Ta có:$\sum \sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}=\sum \frac{\sqrt{xy(x+z)(y+z)}}{(x+z)(y+z)}\geq \sum \frac{\sqrt{xy}(z+\sqrt{xy})}{(x+z)(y+z)}=\frac{\sum xy(x+y)+z\sqrt{xy}(x+y)}{(x+y)(y+z)}(z+x)\geq \frac{\sum xy(x+y)+6xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}=1+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
Mà theo BĐT Schur dạng phân thức :$\sum \frac{x}{y+z}+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq 2$
$\Rightarrow VT\geq 2-\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}+2\left ( 1+\frac{4xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)} \right )=VP$
ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b,c=0$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 30-07-2012 - 12:02