Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Cho các số dương $x_1, x_2, x_3$ và các số $y_1, y_2, y_3$ thỏa mãn hệ :
$$\left\{\begin{array}{1}y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 \\y_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 \\ y_3 = a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 \end{array} \right.$$
Trong đó $a_{ij} > 0$ thỏa $$\left\{\begin{array}{1}a_{i1} + a_{i2} + a_{i3} = 1 (i = 1,2,3) \\a_{1j} + a_{2j} + a_{3j} = 1 (j = 1, 2, 3) \end{array} \right.$$
Chứng minh rằng :
$$x_1x_2x_3 \le y_1y_2y_3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 17-03-2012 - 17:44

[Tham Lang]

Lời giải :
Áp dụng AM-GM suy rộng, ta có :
$y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 =\left (\dfrac{a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3}{a_{11}+a_{12}+a_{13}}\right )^{a_{11}+a_{12}+a_{13}} \ge x_1^{a_{11}}x_2^{a_{12}}x_3^{a_{13}}$

Tương tự với các bộ còn lại, nhân vế theo vế, ta có :
$$y_1y_2y_3 \ge x_1^{a_{11}+a_{21}+a_{31}}x_2^{a_{12}+a_{22}+a_{32}}x_3^{a_{13}+a_{23}+a_{33}}=x_1x_2x_3$$
Bất đẳng thức đã được chứng minh