$$(a,b,c>0, với a^3+b^3+c^3=3)$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HD.Nhat: 17-03-2012 - 20:59
Chứng minh rằng $$\sum \frac{a^2}{ \sqrt{b^3+8}}$$ với $$(a,b,c>0, a^3+b^3+c^3=3)$$
Bắt đầu bởi HD.Nhat, 17-03-2012 - 20:55
#1
Đã gửi 17-03-2012 - 20:55
HD.Nhat
-
- Thành viên
-
- 19 Bài viết
Binh nhì
Chứng minh rằng $$\frac{a^2}{ \sqrt{b^3+8}}+ \frac{b^2}{ \sqrt{c^3+8}}+ \frac{c^2}{ \sqrt{a^3+8}} \le 1$$
$$(a,b,c>0, với a^3+b^3+c^3=3)$$
$$(a,b,c>0, với a^3+b^3+c^3=3)$$
#2
Đã gửi 28-03-2012 - 21:57
Ispectorgadget
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 2946 Bài viết
Nothing
Lời giải:
$$(\sum \frac{a^2}{\sqrt{b^3+8}})^2\leq (\sum \frac{a^2}{\sqrt{3(b+2)}})^2\leq (a^3+b^3+c^3)(\frac{a}{3(b+2)}+\frac{b}{3(c+2)}+\frac{c}{3(a+2)})$$
Ta sẽ chứng minh $$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1\Leftrightarrow a^2c+b^2a+c^2b+2(a^2+b^2+c^2)\leq abc+8$$
Mặt khác $a^2+b^2+c^2\leq 3$$
Giả sử b nằm giữa a và c
Ta cần chứng minh $$a^2c+c^2b+b^3a-2-abc\leq 0\Leftrightarrow a^2c+b^2a+b(3-a^2-b^2)-2-abc\leq 0\Leftrightarrow -(b-1)^2(b+2)-a(b-c)(a-b)\leq 0$$
Do đó BĐT được chứng minh đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
$$(\sum \frac{a^2}{\sqrt{b^3+8}})^2\leq (\sum \frac{a^2}{\sqrt{3(b+2)}})^2\leq (a^3+b^3+c^3)(\frac{a}{3(b+2)}+\frac{b}{3(c+2)}+\frac{c}{3(a+2)})$$
Ta sẽ chứng minh $$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1\Leftrightarrow a^2c+b^2a+c^2b+2(a^2+b^2+c^2)\leq abc+8$$
Mặt khác $a^2+b^2+c^2\leq 3$$
Giả sử b nằm giữa a và c
Ta cần chứng minh $$a^2c+c^2b+b^3a-2-abc\leq 0\Leftrightarrow a^2c+b^2a+b(3-a^2-b^2)-2-abc\leq 0\Leftrightarrow -(b-1)^2(b+2)-a(b-c)(a-b)\leq 0$$
Do đó BĐT được chứng minh đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
