Bài toán tổng quát (Từ bài toán của anh Phuc_90)
Cho $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn $(x + y)(y + z)(z + x)$ $\#$ $0$ Và $|a| \ge|b|$ .Hãy tìm GTNN của $P$ theo $a, b$ với :
$$ P = \dfrac{\left (ax - by\right )^2}{\left (x + y\right )^2} + \dfrac{\left (ay - bz\right )^2}{\left (y + z\right )^2} + \dfrac{\left (az - bx\right )^2}{\left (x + z\right )^2}$$
Đây là một lời giải hoàn chỉnh cho bài này
Trường hợp : $b=0$
Ta có $P=a^2\left(\frac{x^2}{\left(x+y \right)^2}+\frac{y^2}{\left(y+z \right)^2}+\frac{z^2}{\left(z+x \right)^2} \right)=a^2\left(\frac{|x|^2}{\left(|x+y| \right)^2}+\frac{|y|^2}{\left(|y+z| \right)^2}+\frac{|z|^2}{\left(|z+x| \right)^2} \right)$
Sử dụng tính chất : Với mọi số thực $g,h$ ta có $|g+h|\leq |g|+|h|$
Do đó $P\geq a^2\left(\frac{|x|^2}{\left(|x|+|y| \right)^2}+\frac{|y|^2}{\left(|y|+|z| \right)^2}+\frac{|z|^2}{\left(|z|+|x| \right)^2} \right)$
Vì vậy ta chỉ cần xét GTNN của $P$ trong điều kiện $x,y,z$ là các số thực không âm
Nếu trong $x,y,z$ có một số bằng $0$, giả sử $z=0$, từ điều kiện giả thiết thì $x,y > 0$, khi đó $P=\frac{a^2x^2}{\left(x+y \right)^2}+a^2$
Với $x \geq y$ thì $P \geq \frac{a^2x^2}{\left(x+x \right)^2}+a^2=\frac{5a^2}{4}$
Với $x \leq y$ thì $P=\frac{a^2}{\left(1+\frac{y}{x} \right)^2}+a^2$ không có cực tiểu vì hàm số $f(t)=1+t$ với $t=\frac{y}{x} \in \left[ 1, +\infty \right)$ không có cực đại
Sau đây ta sẽ tìm GTNN của $P$ khi $x,y,z$ là các số thực dương
Sử dụng kết quả : Với mọi số thực dương $w,t$ thì $\frac{1}{\left(1+w \right)^2}+\frac{1}{\left(1+t \right)^2}\geq \frac{1}{1+wt}$
Khi đó
$P=a^2\left(\frac{x^2}{\left(x+y \right)^2}+\frac{y^2}{\left(y+z \right)^2}+\frac{z^2}{\left(z+x \right)^2} \right)$
$\geq a^2 \left(\frac{1}{1+\frac{z}{x}}+\frac{1}{\left(1+\frac{x}{z}\right)^2} \right)$
$=a^2 \left(\frac{\frac{x}{z}}{1+\frac{x}{z}}+\frac{1}{\left(1+\frac{x}{z}\right)^2} \right)$
$=a^2 \left(\frac{\left(\frac{x}{z}\right)^2+\frac{x}{z}+1}{\left(1+\frac{x}{z} \right)^2} \right)$
$\geq \frac{3a^2}{4}$
Trường hợp : $b\neq0$
Sử dụng kết quả : Với $w,t \geq 0$ và $a,b$ là các số thực, ta có $\left(aw-bt \right)^2 \geq \left(|a|w-|b|t \right)^2$
Khi đó $P\geq \frac{\left (|a|x - |b|y\right )^2}{\left (x + y\right )^2} + \dfrac{\left (|a|y - |b|z\right )^2}{\left (y + z\right )^2} + \dfrac{\left (|a|z - |b|x\right )^2}{\left (x + z\right )^2}$
Đặt $m=\frac{|a|}{|b|}\geq 1$ khi đó ta có $P\geq b^2 \left[ \left (\frac{mx - y}{x+y}\right )^2 + \left (\frac{my - z}{y+z}\right )^2 + \left (\frac{mz - x}{z+x}\right )^2 \right]=b^2Q$
Ta đặt tiếp $p=\frac{mx-y}{x+y} , q=\frac{my-z}{y+z} , r=\frac{mz-x}{z+x}$
Dẫn đến ta có đẳng thức sau : $\left(p+1 \right)\left(q+1 \right)\left(r+1 \right)=\left(m-p \right)\left(m-q \right)\left(m-r \right)$
hay $\left(m^2+1 \right)\left(p+q+r \right)+2pqr=m^3-1+\left(m-1 \right)\left(pq+qr+rp \right)$
Và $Q$ sẽ được viết lại thành $Q=p^2+q^2+r^2$
+ Trường hợp 1: $pqr \geq \left(\frac{m-1}{2}\right)^3$
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có $Q\geq 3\sqrt[3]{p^2q^2r^2}\geq 3\left(\frac{m-1}{2} \right)^2$
+ Trường hợp 2: $pqr \leq \left(\frac{m-1}{2}\right)^3$ và $p+q+r \geq 3\frac{m-1}{2}$
Ta có $Q\geq \frac{\left(p+q+r \right)^2}{3}\geq 3\left(\frac{m-1}{2} \right)^2$
+ Trường hợp 3: $pqr \leq \left(\frac{m-1}{2}\right)^3$ và $p+q+r \leq 3\frac{m-1}{2}$
Khi đó $Q=\left(p+q+r \right)^2-2\left(pq+qr+rp \right)$
$=\left(p+q+r \right)^2-2\left[\frac{m^2+1}{m-1}\left(p+q+r \right)+\frac{2}{m-1}pqr-\left(m^2+m+1 \right) \right]$
Đây là hàm nghịch biến theo $p+q+r$, do đó ta có
$Q\geq 9\left(\frac{m-1}{2} \right)^2-2\left[\frac{m^2+1}{m-1}\frac{3\left(m-1 \right)}{2}+\frac{2}{m-1}pqr-\left(m^2+m+1 \right) \right]$
$=5\left(\frac{m-1}{2} \right)^2-\frac{4}{m-1}pqr$
$\geq 5\left(\frac{m-1}{2} \right)^2-\frac{4}{m-1}\left(\frac{m-1}{2} \right)^3 $
$=3\left(\frac{m-1}{2} \right)^2$
$=\frac{3}{4}\frac{\left(|a|-|b| \right)^2}{b^2}$
suy ra $P\geq \frac{3}{4}\left(|a|-|b| \right)^2$
Kết luận : GTNN của $P=min\left \{\frac{3}{4}\left(|a|-|b| \right)^2 , \frac{5}{4}a^2 , \frac{3}{4}a^2 \right \}=\frac{3}{4}\left(|a|-|b| \right)^2$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 10-10-2014 - 13:13