Đến nội dung

Hình ảnh

GTNN của $P$ theo $a, b$ với : $$ P = \sum{\dfrac{\left (ax - by\right )^2}{\left (x + y\right )^2}}$$

- - - - - Bài toán tổng quát

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Bài toán tổng quát (Từ bài toán của anh Phuc_90)
Cho $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn $(x + y)(y + z)(z + x)$ $\#$ $0$ Và $|a| \ge|b|$ .Hãy tìm GTNN của $P$ theo $a, b$ với :
$$ P = \dfrac{\left (ax - by\right )^2}{\left (x + y\right )^2} + \dfrac{\left (ay - bz\right )^2}{\left (y + z\right )^2} + \dfrac{\left (az - bx\right )^2}{\left (x + z\right )^2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 23-03-2012 - 21:25

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2
le_hoang1995

le_hoang1995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 314 Bài viết
Mình thấy bài này không cần điều kiện cho $ |a| \ge |b|$.
Bài toán được giải quyết ở đây.
http://diendantoanho...dfracmc-na2ca2/

#3
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Mình thấy bài này không cần điều kiện cho $ |a| \ge |b|$.
Bài toán được giải quyết ở đây.
http://diendantoanho...dfracmc-na2ca2/

 

Không biết lời giải không sử dụng điều kiện $|a| \geq |b|$ nằm ở chỗ nào nhỉ ?

 

P/S :  Hay phán bừa quá  :))



#4
phuc_90

phuc_90

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết

Bài toán tổng quát (Từ bài toán của anh Phuc_90)
Cho $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn $(x + y)(y + z)(z + x)$ $\#$ $0$ Và $|a| \ge|b|$ .Hãy tìm GTNN của $P$ theo $a, b$ với :
$$ P = \dfrac{\left (ax - by\right )^2}{\left (x + y\right )^2} + \dfrac{\left (ay - bz\right )^2}{\left (y + z\right )^2} + \dfrac{\left (az - bx\right )^2}{\left (x + z\right )^2}$$

 

Đây là một lời giải hoàn chỉnh cho bài này

 

Trường hợp :    $b=0$

 

Ta có    $P=a^2\left(\frac{x^2}{\left(x+y \right)^2}+\frac{y^2}{\left(y+z \right)^2}+\frac{z^2}{\left(z+x \right)^2} \right)=a^2\left(\frac{|x|^2}{\left(|x+y| \right)^2}+\frac{|y|^2}{\left(|y+z| \right)^2}+\frac{|z|^2}{\left(|z+x| \right)^2} \right)$

 

Sử dụng tính chất :   Với mọi số thực $g,h$ ta có  $|g+h|\leq |g|+|h|$

 

Do đó   $P\geq a^2\left(\frac{|x|^2}{\left(|x|+|y| \right)^2}+\frac{|y|^2}{\left(|y|+|z| \right)^2}+\frac{|z|^2}{\left(|z|+|x| \right)^2} \right)$

 

Vì vậy ta chỉ cần xét GTNN của $P$ trong điều kiện $x,y,z$ là các số thực không âm

 

        Nếu trong $x,y,z$ có một số bằng $0$, giả sử $z=0$, từ điều kiện giả thiết thì $x,y > 0$, khi đó   $P=\frac{a^2x^2}{\left(x+y \right)^2}+a^2$

 

        Với $x \geq y$  thì $P \geq \frac{a^2x^2}{\left(x+x \right)^2}+a^2=\frac{5a^2}{4}$

 

        Với $x \leq y$   thì  $P=\frac{a^2}{\left(1+\frac{y}{x} \right)^2}+a^2$ không có cực tiểu vì hàm số  $f(t)=1+t$  với $t=\frac{y}{x} \in \left[ 1, +\infty \right)$  không có cực đại

 

Sau đây ta sẽ tìm GTNN của $P$ khi $x,y,z$ là các số thực dương

 

Sử dụng kết quả :    Với mọi số thực dương $w,t$ thì $\frac{1}{\left(1+w \right)^2}+\frac{1}{\left(1+t \right)^2}\geq \frac{1}{1+wt}$

 

Khi đó 

 

$P=a^2\left(\frac{x^2}{\left(x+y \right)^2}+\frac{y^2}{\left(y+z \right)^2}+\frac{z^2}{\left(z+x \right)^2} \right)$

 

$\geq a^2 \left(\frac{1}{1+\frac{z}{x}}+\frac{1}{\left(1+\frac{x}{z}\right)^2} \right)$

 

$=a^2 \left(\frac{\frac{x}{z}}{1+\frac{x}{z}}+\frac{1}{\left(1+\frac{x}{z}\right)^2} \right)$

 

$=a^2 \left(\frac{\left(\frac{x}{z}\right)^2+\frac{x}{z}+1}{\left(1+\frac{x}{z} \right)^2} \right)$

 

$\geq \frac{3a^2}{4}$

 

Trường hợp :   $b\neq0$

 

Sử dụng kết quả :   Với $w,t \geq 0$ và $a,b$ là các số thực, ta có  $\left(aw-bt \right)^2 \geq \left(|a|w-|b|t \right)^2$

 

Khi đó  $P\geq \frac{\left (|a|x - |b|y\right )^2}{\left (x + y\right )^2} + \dfrac{\left (|a|y - |b|z\right )^2}{\left (y + z\right )^2} + \dfrac{\left (|a|z - |b|x\right )^2}{\left (x + z\right )^2}$

 

Đặt $m=\frac{|a|}{|b|}\geq 1$ khi đó ta có  $P\geq b^2 \left[ \left (\frac{mx - y}{x+y}\right )^2 + \left (\frac{my - z}{y+z}\right )^2 + \left (\frac{mz - x}{z+x}\right )^2 \right]=b^2Q$

 

Ta đặt tiếp  $p=\frac{mx-y}{x+y} , q=\frac{my-z}{y+z} , r=\frac{mz-x}{z+x}$

 

Dẫn đến ta có đẳng thức sau :    $\left(p+1 \right)\left(q+1 \right)\left(r+1 \right)=\left(m-p \right)\left(m-q \right)\left(m-r \right)$

 

hay    $\left(m^2+1 \right)\left(p+q+r \right)+2pqr=m^3-1+\left(m-1 \right)\left(pq+qr+rp \right)$

 

Và $Q$ sẽ được viết lại thành $Q=p^2+q^2+r^2$

 

            +  Trường hợp 1:  $pqr \geq \left(\frac{m-1}{2}\right)^3$

 

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có  $Q\geq 3\sqrt[3]{p^2q^2r^2}\geq 3\left(\frac{m-1}{2} \right)^2$

 

            +  Trường hợp 2:  $pqr \leq \left(\frac{m-1}{2}\right)^3$ và $p+q+r \geq 3\frac{m-1}{2}$

 

Ta có  $Q\geq \frac{\left(p+q+r \right)^2}{3}\geq 3\left(\frac{m-1}{2} \right)^2$

 

            +  Trường hợp 3:   $pqr \leq \left(\frac{m-1}{2}\right)^3$  và  $p+q+r \leq 3\frac{m-1}{2}$

 

Khi đó  $Q=\left(p+q+r \right)^2-2\left(pq+qr+rp \right)$

 

$=\left(p+q+r \right)^2-2\left[\frac{m^2+1}{m-1}\left(p+q+r \right)+\frac{2}{m-1}pqr-\left(m^2+m+1 \right) \right]$

 

Đây là hàm nghịch biến theo $p+q+r$, do đó ta có

 

$Q\geq 9\left(\frac{m-1}{2} \right)^2-2\left[\frac{m^2+1}{m-1}\frac{3\left(m-1 \right)}{2}+\frac{2}{m-1}pqr-\left(m^2+m+1 \right) \right]$

 

$=5\left(\frac{m-1}{2} \right)^2-\frac{4}{m-1}pqr$

 

$\geq 5\left(\frac{m-1}{2} \right)^2-\frac{4}{m-1}\left(\frac{m-1}{2} \right)^3 $

 

$=3\left(\frac{m-1}{2} \right)^2$

 

$=\frac{3}{4}\frac{\left(|a|-|b| \right)^2}{b^2}$

 

suy ra   $P\geq \frac{3}{4}\left(|a|-|b| \right)^2$

 

Kết luận :   GTNN của $P=min\left \{\frac{3}{4}\left(|a|-|b| \right)^2 , \frac{5}{4}a^2 , \frac{3}{4}a^2 \right \}=\frac{3}{4}\left(|a|-|b| \right)^2$

 

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 10-10-2014 - 13:13





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh