Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Cho các số dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 \le 3$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1 + ab}{c^2 + ab} + \dfrac{1 + bc}{a^2 + bc} + \dfrac{1 + ac}{b^2 + ac} \ge 3$$

[minh29995]

BĐT tương dương
$\sum \frac{1-c^{2}}{c^{2}+ab}\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum \frac{3-3c^{2}}{c^{2}+ab}\geq 0$
Ta có
$VT\geq \sum \frac{a^{2}+b^{2}-2c^{2}}{c^{2}+ab}$
$=\sum \frac{(a-c)(a+c)+(b-c)(b+c)}{c^{2}+ab}$
$=\sum \frac{(a-c)^{2}(a+c)(a+c-b)}{\left (c^{2}+ab \right )(a^{2}+bc)}$
Giả sử $a\geq b\geq c$ ta có $S_{b},S_{c}\geq 0$
Ta chứng minh $a^{2}S_{b}+b^{2}S_{a}\geq 0$
Tức là cần chứng minh
$a^{2}(a+c)(a+c-b)(b^{2}+ac)\geq b^{2}(b+c)(a-b-c)(a^{2}+bc)$
Ta có
$(a+c)(a+c-b)\geq (b+c)(a-b-c)\Leftrightarrow (a-b)^{2}+ac+bc+c^{2}\geq 0$ (Đúng)
$a^{2}(b^{2}+ac)\geq b^{2}(a^{2}+bc)\Leftrightarrow a^{3}c\geq b^{3}c$ (đúng)
Nhân từng vế 2 BĐT trên ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c hoặc a=b, c=o và các hoán vị