Chủ đề này có 2 trả lời

[Ispectorgadget]

Cho các số $a,b,c$ thực dương. Chứng minh rằng
$$\frac{a^2+ab+2b^2}{b^2+2ab}+\frac{b^2+2c^2+bc}{c^2+2bc}+\frac{c^2+2a^2+ac}{a^2+2ac}\geq \frac{36(ab+bc+ac)}{(2+a^2)(2+b^2)(2+c^2)}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 30-03-2012 - 21:14

[Tham Lang]

Giải :
Đầu tiên, ta sẽ chứng minh $VT \ge 4 (1)$. Thật vậy :
$$VT = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2a^2 + 3b^2}{2\left (b^2 + 2ab\right )} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{2b^2 + 3c^2}{2\left (c^2 + 2bc\right )} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{2c^2 + 3a^2}{2\left (a^2 + 2ac\right )}$$
Lại có $$\dfrac{a^2}{b^2 + 2ab} + \dfrac{b^2}{c^2 + 2bc} + \dfrac{c^2}{a^2 + 2ac} \ge \dfrac{(a + b + c)^2}{(a + b + c)^2} = 1$$
Và $$\dfrac{b^2}{b^2 + 2ab} + \dfrac{c^2}{c^2 + 2bc} + \dfrac{a^2}{a^2 + 2ac} \ge \dfrac{(a + b + c)^2}{(a + b + c)^2} = 1$$
Nên suy ra (1) đúng.
Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh $VP \le 4$
Thật vậy :$$\dfrac{36(ab + bc + ca)}{\left (a^2 + 2\right )\left (b^2 + 2\right )\left (c^2 + 2\right )} \le 4$$
$$\Leftrightarrow 9(ab + bc + ca) \le 8 + 4\left (a^2 + b^2 + c^2\right ) + 2\left (a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2\right ) + a^2b^2c^2 (I)$$
Để ý :$$a^2b^2c^2 + 1 + 1 + a^2 + b^2 + c^2 \ge 2abc + a^2 + b^2 + c^2 + 1 \ge 2(ab + bc + ca) (2)$$
$$3\left (a^2 + b^2 + c^2\right ) \ge 3(ab + bc + ca) (3)$$
$$2a^2b^2 + 2 + 2b^2c^2 + 2 + 2c^2a^2 + 2 \ge 4(ab + bc + ca) (4)$$
Cộng vế theo vế của $(1), (2), (3)$ suy ra $(I)$
Vậy ta có ĐPCM.

[Ispectorgadget]

Cho các số $a,b,c$ thực dương. Chứng minh rằng
$$\frac{a^2+ab+2b^2}{b^2+2ab}+\frac{b^2+2c^2+bc}{c^2+2bc}+\frac{c^2+2a^2+ac}{a^2+2ac}\geq \frac{36(ab+bc+ac)}{(2+a^2)(2+b^2)(2+c^2)}$$

My Solution
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$$VT\geq \frac{(\sqrt{a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+c^2+bc}+\sqrt{2c^2+a^2+ac})^2}{(a+b+c)^2}$$
Ta có: $$\sqrt{a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+c^2+bc}+\sqrt{2c^2+a^2+ac}\geq \sqrt{\frac{3}{4}(b+c)^2+b^2}+\sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^2+b^2}+\sqrt{\frac{3}{4}(c+a)^2+c^2}$$
Áp dụng BĐT Minkowsky ta có
$${\sqrt{\frac{3}{4}(b+c)^2+b^2}+\sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^2+b^2}+\sqrt{\frac{3}{4}(c+a)^2+c^2}\geq \sqrt{\frac{3}{4}(2[a+b+c)]^2+(c+a+b)^2} \geq 2(a+b+c)}$$
Do đó $$\frac{(\sqrt{a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+c^2+bc}+\sqrt{2c^2+a^2+ac})^2}{(a+b+c)^2}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}\geq \frac{12(ab+bc+ac)}{(a+b+c)^2}$$
Ta chỉ cần chứng minh: $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 3(a+b+c)^2$ (1)
Đây là 2 cách chứng minh BĐT (1)
Cách 1: Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
$(a+b+c)^2\le (a^2+2)[1+\frac{(b+c)^2}{2}]$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $(b^2+2)(c^2+2)\geq 3[1+\frac{(b+c)^2}{2}]$
Khai triển ra ta được $\frac{b^2+c^2}{2}+(bc)^2-3bc+1\geq 0$
Ta có: $\frac{b^2+c^2}{2}+(bc)^2-3bc+1\geq (bc-1)^2\geq 0$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$
Cách 2: Trong 3 số $a^2-1;b^2-1;c^2-1$ luôn tồn tại 2 số cùng dấu. Giả sử 2 số đó là $a^2-1; b^2-1$. Khi đó áp dụng bất đẳng thằng Weierstrass (*)
$$(a^2+2)(b^2+2)=[3+(a^2-1)][3+(b^2-1)]=9(1+\frac{a^2-1}{3})(1+\frac{b^2-1}{3})$$
$$\geq 9(1+\frac{a^2-1}{3}+\frac{b^2-1}{3})=3(a^2+b^2+1)$$
Ta chỉ cần chứng minh $$(a^2+b^2+1)(c^2+2)\geq (a+b+c)^2$$
Điều này đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1 \blacksquare$
Từ đây ta có điều cần chứng minh .

___
Bất đẳng thức (*) là cách phát biểu khác của Bất đẳng thức Bernoulli

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 30-03-2012 - 21:58