Chủ đề này có 2 trả lời

[sonksnb]

Cho $3$ số $a,b,c$ dương,thỏa mãn:$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CMR:

$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\geq \frac{3\sqrt{3}+9}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 23-07-2015 - 12:26

[dark templar]

Cho 3 số a,b,c dương,thỏa mãn:$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1
CMR:\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\geq \frac{3\sqrt{3}+9}{2}$

Bài này mình có 2 cách,nhưng cách còn lại làm dài và rất mất công tính toán nên mình chỉ đưa cách ngắn gọn lên :
Từ giả thuyết,ta suy ra được:
$$\frac{1}{1-a}=\frac{a+1}{b^2+c^2};\frac{1}{1-b}=\frac{b+1}{a^2+c^2};\frac{1}{1-c}=\frac{c+1}{a^2+b^2}$$
Như vậy ta viết lại BĐT dưới dạng sau:
$$\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2} \right)+\left(\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2} \right) \ge \frac{3\sqrt{3}+9}{2}$$
Với ngoặc đầu,theo Cauchy-Schwarz:
$$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2} \ge \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}=\frac{9}{2}$$
Với ngoặc sau,ta dễ dàng chứng minh được 1 BĐT luôn đúng sau:
$$\frac{a}{1-a^2} \ge \frac{3\sqrt{3}a^2}{2} \iff 3\sqrt{3}a^3+2 \ge 3\sqrt{3}a$$
(Luôn đúng theo AM-GM)
Vậy:
$$\frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2} \ge \frac{3\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
Suy ra đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

[Ispectorgadget]

Cho 3 số a,b,c dương,thỏa mãn:$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CMR$:\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\geq \frac{3\sqrt{3}+9}{2}$

Lời giải:
Vì $a,b,c$ dương và $a^2+b^2+c^2=1$ nên suy ra $a,b,c\in (0;1)$. Xét hàm số
$$h(t)=\frac{1}{1-t}-\frac{9+6\sqrt{3}}{4}t^2,\forall t\in (0;1)$$
$$h'(t)=\frac{1}{(1-t)^2}-\frac{9+6\sqrt{3}}{2}t,\forall t \in (0;1)$$
$$h'(t)=0\Leftrightarrow \frac{1}{(1-t)^2}=\frac{9+6\sqrt{3}}{2}t\Leftrightarrow 3\sqrt{3}t^3-6\sqrt{3}t^2+3\sqrt{3}t-42\sqrt{3}=0$$
$$\Leftrightarrow t_1=\frac{6\sqrt{3}-3-\sqrt{36\sqrt{3}-27}}{6\sqrt{3}}\in (0;1)$$
$$t_3=\frac{6\sqrt{3}-3+\sqrt{36\sqrt{3}-27}}{6\sqrt{3}}>1$$
Kẻ bảng biến thiên ta có
$$h(t)\geq \frac{3}{4},\forall t\in (0;1)$$
$$\frac{1}{1-t}\geq \frac{9+6\sqrt{3}}{4}t^2+\frac{3}{4},t\in (0;1)$$
Thay t lần lượt bởi $a,b,c$ rồi cộng các vế cùng chiều ta được
$$\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\geq \frac{9+6\sqrt{3}}{4}(a^2+b^2+c^2)+\frac{9}{4}$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}\blacksquare$$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-03-2014 - 13:15