Chủ đề này có 2 trả lời

[dark templar]

Bài toán: Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} (a+b)(b+c)(c+a)>0 \\ a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca) \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}} \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$$

[Tham Lang]

Hiz. Cho em góp vui tí
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :
$$\dfrac{ab}{a^2 + b^2} + \dfrac{bc}{b^2 + c^2} + \dfrac{ca}{c^2 + a^2} $$ $$+ 2\left (\sqrt{\dfrac{ab}{a^2 + b^2}}\sqrt{\dfrac{bc}{b^2 + c^2}}+ \sqrt{\dfrac{bc}{b^2 + c^2}}\sqrt{\dfrac{ca}{c^2 + a^2}}+ \sqrt{\dfrac{ca}{c^2 + a^2}}\sqrt{\dfrac{ab}{a^2 + b^2}}\right ) \ge \dfrac{1}{2}$$
Ta sẽ chứng minh $$\dfrac{ab}{a^2 + b^2} + \dfrac{bc}{b^2 + c^2} + \dfrac{ca}{c^2 + a^2} \ge \dfrac{1}{2}$$
Thật vậy $$\dfrac{ab}{a^2 + b^2} + \dfrac{bc}{b^2 + c^2} + \dfrac{ca}{c^2 + a^2} \ge \dfrac{ab}{a^2 + b^2 + c^2} + \dfrac{bc}{b^2 + c^2 + a^2} + \dfrac{ca}{c^2 + a^2 + b^2} $$ $$= \dfrac{ab + bc + ca}{a^2 + b^2 + c^2} = \dfrac{1}{2}$$
Bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu = xảy ra khi trong $a, b, c$ 2 số bằng nhau, 1 số = 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 01-04-2012 - 07:17

[Nguyenhuyen_AG]

Bài toán: Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} (a+b)(b+c)(c+a)>0 \\ a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca) \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}} \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$$

 

Với mọi số thực $x,y,z$ không âm thì

\[x+y+ z \geqslant \sqrt{x^2+y^2+z^2}.\]

Suy ra

\[\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}} \geqslant \sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}}.\]

Ta chứng minh

\[\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2} \geqslant \frac{1}{2}.\]

Bất đẳng thức này đúng theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với lưu ý

\[\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{1}{2}=\frac{(a+b)^2}{2(a^2+b^2)}.\]