Chủ đề này có 5 trả lời

[tranquocluat_ht]

Bài 1. Cho ma trận vuông thực A mà $A^2=A$. Tìm dạng của ma trận X giao hoán với A.

Bài 2. Cho ma trận $A=(1\;\; 0\;\; 1, 0\;\; 1\;\; 2, 0\;\; 0\;\; 1)$. Tìm ma trận vuông cấp 3 B sao cho $AB+BA=0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 02-01-2013 - 23:23

[quangbinng]

Bài 1. Cho ma trận vuông thực A mà $A^2=A$. Tìm dạng của ma trận X giao hoán với A.

Bài 2. Cho ma trận $A=(1\;\; 0\;\; 1, 0\;\; 1\;\; 2, 0\;\; 0\;\; 1)$. Tìm ma trận vuông cấp 3 B sao cho $AB+BA=0$.

 

 

 

Bài 1: có thể rút ra được $A=P^{-1}\begin{bmatrix} I_r & O \\ O& O \end{bmatrix}P$.

như vậy có thể suy ra $X$ có dạng $P^{-1} D P$ với $D$ là dạng đường chéo

 

Không biết ý của đề có phải như vậy không, nhưng nếu biểu diễn X qua A thì hơi khó @@, mọi người cùng vào thảo luận đi ạ.

[quangbinng]

Bài 2:

 

Gọi $B=\begin{bmatrix}b_1 &b_2 &b_3 \\ b_4 &b_5 &b_6 \\ b_7& b_8 &b_9 \end{bmatrix}$

 

Nếu $AB=-BA$ thì

$\begin{bmatrix} 1 &0 &1 \\ 0 &1 &2 \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1 &b_2 &b_3 \\ b_4 &b_5 &b_6 \\ b_7& b_8 &b_9 \end{bmatrix}=-\begin{bmatrix}b_1 &b_2 &b_3 \\ b_4 &b_5 &b_6 \\ b_7& b_8 &b_9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &0 &1 \\ 0&1 &2 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

 

hay 

 

$\begin{bmatrix}b_1+b_7 & b_2+b_8 &b_3+b_9 \\ b_4+2b_7&b_5+2b_8 &b_6+2b_9 \\ b_7& b_8& b_9 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-b_1 & -b_2 &-(b_3+2b_2+b_1) \\ -b_4& -b_5 &-(b_6+2b_5+b_4) \\ -b_7& -b_8&-( b_9+2b_8+b_7) \end{bmatrix}$

 

Xét cột đầu tiên : $b_7=-b_7$ suy ra $b_7=0$ suy ra $b_4=0$,

 

sang cột 2 suy ra $b_8=b_5=b_2=0$ , sang cột 3 ta cũng suy ra $b_3=b_6=b_9=0$

 

Vậy $B$ là ma trận O.

 

 

 

p/s:Không biết bài này có ngụ gì hay tổng quát gì không @@

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quangbinng: 27-11-2014 - 17:20

[phudinhgioihan]

Bài 2. Cho ma trận $A=(1\;\; 0\;\; 1, 0\;\; 1\;\; 2, 0\;\; 0\;\; 1)$. Tìm ma trận vuông cấp 3 B sao cho $AB+BA=0$.

 

 

Bài 2:

 

p/s:Không biết bài này có ngụ gì hay tổng quát gì không @@

 

Tổng quát gì thì hãy để ý 2 cột đầu tiên của $A$ có gì đặc biệt? Sau đó xem tiếp bài giải:

 

Giả sử $B=[b_1,b_2,b_3]$ với $b_i \in \mathbb{R}^3 \;, i=1,2,3$

 

Ta có: $AB\begin{bmatrix}1 \\0 \\0 \end{bmatrix}+BA\begin{bmatrix}1 \\0 \\0 \end{bmatrix}=0$

$\Leftrightarrow Ab_1+b_1=0 \Leftrightarrow Ab_1=-b_1$

 

Dễ thấy $A$ chỉ có một giá trị riêng là 1, do đó phải có $b_1=0$ vì nếu $b_1 \neq 0$ thì $-1$ là trị riêng của $A$.

 

Tương tự, $AB\begin{bmatrix}0 \\1 \\0 \end{bmatrix}+BA\begin{bmatrix}0 \\1 \\0 \end{bmatrix}=0$

$\Leftrightarrow Ab_2+b_2=0 \Leftrightarrow Ab_2=-b_2 \Leftrightarrow b_2=0$

 

$A$ có một vecto riêng là $\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}$, ta sẽ sử dụng vecto này.

 

 $AB\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}+BA\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}=0$

$\Leftrightarrow AB\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}+B\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}=0$

$\Leftrightarrow AB\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}=-B\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow B\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}=0$

$\Leftrightarrow b_3=0$

 

Vậy $B=0$

[quangbinng]

Tổng quát gì thì hãy để ý 2 cột đầu tiên của $A$ có gì đặc biệt? Sau đó xem tiếp bài giải:

 

Giả sử $B=[b_1,b_2,b_3]$ với $b_i \in \mathbb{R}^3 \;, i=1,2,3$

 

Ta có: $AB\begin{bmatrix}1 \\0 \\0 \end{bmatrix}+BA\begin{bmatrix}1 \\0 \\0 \end{bmatrix}=0$

$\Leftrightarrow Ab_1+b_1=0 \Leftrightarrow Ab_1=-b_1$

 

Dễ thấy $A$ chỉ có một giá trị riêng là 1, do đó phải có $b_1=0$ vì nếu $b_1 \neq 0$ thì $-1$ là trị riêng của $A$.

 

Tương tự, $AB\begin{bmatrix}0 \\1 \\0 \end{bmatrix}+BA\begin{bmatrix}0 \\1 \\0 \end{bmatrix}=0$

$\Leftrightarrow Ab_2+b_2=0 \Leftrightarrow Ab_2=-b_2 \Leftrightarrow b_2=0$

 

$A$ có một vecto riêng là $\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}$, ta sẽ sử dụng vecto này.

 

 $AB\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}+BA\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}=0$

$\Leftrightarrow AB\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}+B\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}=0$

$\Leftrightarrow AB\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}=-B\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow B\begin{bmatrix}1 \\1 \\0 \end{bmatrix}=0$

$\Leftrightarrow b_3=0$

 

Vậy $B=0$

 

Anh ơi chỗ này đâu suy ra được ạ @@

[phudinhgioihan]

Anh ơi chỗ này đâu suy ra được ạ @@

 

Chỗ đó anh làm tắt, $B$ có 2 cột đầu toàn 0 rồi, thay $b_3$ vào thì ra liền $b_3=0$, tính toán đơn giản nên khỏi ghi vậy.