Chủ đề này có 4 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán 1.
Cho $x_1,x_2,...,x_n$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=1$ . Tìm GTNN của biểu thức :
$$\sum_{i=1}^n \dfrac{x_i^5}{x_1+x_2+...+x_n+x_i}$$
Bài toán 2.
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a^3+abc}{b+c}+\dfrac{b^3+abc}{c+a}+\dfrac{c^3+abc}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2$$
Mình xin được quy định luôn là những bài mình post không quá khó, nên hãy suy nghĩ chứ đừng vội trích dẫn lời giải của tài liệu tham khảo nhé, như thế thì thấy máy móc lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 27-04-2012 - 22:49

[Crystal]

Bài toán 1.
Cho $x_1,x_2,...,x_n$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=1$ . Tìm GTNN của biểu thức :
$$\sum_{i=1}^n \dfrac{x_i^5}{x_1+x_2+...+x_n+x_i}$$

Bài này kết quả là $\frac{1}{{n\left( {n - 1} \right)}}$ với $n \ge 2$ phải không Huy. Anh xin gửi lời giải lên sau nhé

---

[Tham Lang]

Bài này kết quả là $\frac{1}{{n\left( {n - 1} \right)}}$ với $n \ge 2$ phải không Huy. Anh xin gửi lời giải lên sau nhé

---

Hí hí. Theo em, kết quả của anh là trong TH dưới mẫu là $-x_i$ Nhưng với cái này thì em nghĩ là $\dfrac{1}{n(n+1)}$. Anh cho ý kiến ạ !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 02-05-2012 - 17:43

[le_hoang1995]

Bài toán 2.
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a^3+abc}{b+c}+\dfrac{b^3+abc}{c+a}+\dfrac{c^3+abc}{a+b}\ge a^2+b^2+c^2$$

May mắn quá là BĐT này đúng theo BĐT Vornicu- Schur.

$\sum \frac{a^3+abc}{b+c}\geq \sum a^2\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b+c}(a-b)(a-c)\geq 0$

Đặt $x=\frac{a}{b+c}...$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow x\geq y\geq z$

Ta có $z(c-a)(c-b)\geq 0$

$x(a-c)-y(b-c)\geq x(b-c)-y(b-c)=(x-y)(b-c)\geq 0\Leftrightarrow x(a-b)(a-c)+y(b-a)(b-c)\geq 0$

Suy ra ĐPCM

[le_hoang1995]

Bài toán 1.
Cho $x_1,x_2,...,x_n$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=1$ . Tìm GTNN của biểu thức :
$$\sum_{i=1}^n \dfrac{x_i^5}{x_1+x_2+...+x_n+x_i}$$

Bài 1 mình làm như thế này, không biết đúng không, ra kết quả giống Huy nói

Sử dụng Cauchy-Schwarz

Đặt $S:=x_1+x_2+...+x_n$

$\Rightarrow 1=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2\geq \frac{S^2}{n}$ $\Rightarrow S\leq \sqrt{n}$

$(x_1^3+x_2^3+...+x_n^3)S\geq (x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)^2=1$ $\Rightarrow x_1^3+x_2^3+...+x_n^3\geq \frac{1}{\sqrt{n}}$

Như vậy

$VT=\sum \frac{x_i^5}{S+x_i}\geq \frac{(\sum x_i^3)^2}{\sum x_i.S+\sum x_i^2}=\frac{(\sum x_i^3)^2}{S^2+1}\geq \frac{\frac{1}{n}}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 02-05-2012 - 20:17