Chủ đề này có 2 trả lời

[pumpumt]

Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 2. Tìm min
A=$4\left ( a^{3} +b^{3}+c^{3}\right )+15abc$
Gõ tiêu đề cẩn thận.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 29-04-2012 - 21:07

[phantomladyvskaitokid]

Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 2. Tìm min
A=$4\left ( a^{3} +b^{3}+c^{3}\right )+15abc$

$abc \geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(2-2c)(2-2a)(2-2b)$

$\Rightarrow 27abc \geq 24(ab+bc+ca)-24$

$\Rightarrow A=4\left [ (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc \right ]+15abc$

$=8(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+27abc$

$\geq 8(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+24(ab+bc+ca)-24$

$=8(a+b+c)^2-24$

$\geq 8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phantomladyvskaitokid: 29-04-2012 - 18:55

[hoanglong2k]

Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi là 2. Tìm min
A=$4\left ( a^{3} +b^{3}+c^{3}\right )+15abc$
Gõ tiêu đề cẩn thận.

 Một cách ngắn gọn ( Cũng khá tương tự anh phatom thôi )

 Áp dụng BĐT Schur ta có :

 $a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

 $\Leftrightarrow 4(a^3+b^3+c^3)+15abc\geq a^3+b^3+c^3+3[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]+3abc=(a+b+c)^3$

 $\Rightarrow 4(a^3+b^3+c^3)+15abc\geq 8$

 

 Và cũng có thể theo kiểu THPT :

 Ta có :

 $A=4a^3+4(b+c)^3-12bc(b+c)+15abc=4a^3+4(2-a)^3+bc(27a-24)$

     $=24a^2-48a+32+bc(27a-24)$

 Giả sử $a=\min\left \{ a,b,c \right \}\Rightarrow a\in \left [ 0;\frac{2}{3} \right ]\Rightarrow 27a\leq 18<24$

 $\Rightarrow P\geq 24a^2-48a+32+\frac{(b+c)^2}{4}.(27a-24)=24a^2-48a+32+\frac{(2-a)^2}{4}.(27a-24)=\frac{27a^3-36a^2+12a+32}{4}$

 Xét hàm $f(a)=\frac{27a^3-36a^2+12a+32}{4}$ trên $\left [ 0;\frac{2}{3} \right ]$ là ra