Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyễn Xuân Trung]

$Cho\: x+y+z=9\, Tim\, \, min\,\, cua\, T=2^{x+1}+3^{y}+4^{z}$

[truclamyentu]

$Cho\: x+y+z=9\, Tim\, \, min\,\, cua\, T=2^{x+1}+3^{y}+4^{z}$

Ta có :
$\begin{array}{l}
T = {2^{x + 1}} + {3^y} + {4^z} = {2^x} + {2^x} + {4^z} + {3^y}\\
\ge 3\sqrt[3]{{{4^{x + z}}}} + {3^y} = 3\sqrt[3]{{{4^{9 - y}}}} + {3^y}\\
= 3.{4^{\frac{{9 - y}}{3}}} + {3^y}\\
Đặt : f(y) = 3.{4^{\frac{{9 - y}}{3}}} + {3^y};y \in R.
\end{array}$
$\begin{array}{l}
f'(y) = - \ln 4.{4^{\frac{{9 - y}}{3}}} + \ln {3.3^y};f'(y) = 0 \Leftrightarrow \ln 4.{4^{\frac{{9 - y}}{3}}} = \ln {3.3^y}\\
\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{\ln 4}}{{\ln 3}}} \right)^3} = \frac{{{{27}^y}}}{{{4^{9 - y}}}} = \frac{{{{108}^y}}}{{{4^9}}} \Rightarrow y = {\log _{108}}\left( {4^9.{{\left( {\frac{{\ln 4}}{{\ln 3}}} \right)}^3}} \right)
\end{array}$
Suy ra :$ f(y) \ge f\left[ {{{\log }_{108}}\left( {4^9.{{\left( {\frac{{\ln 4}}{{\ln 3}}} \right)}^3}} \right)} \right] $
Vậy:$ MinT={3.4^{\frac{{9 - {{\log }_{108}}\left( {{4^9}.{{\left( {\frac{{\ln 4}}{{3\ln 3}}} \right)}^3}} \right)}}{3}}} + {3^{{{\log }_{108}}\left( {{4^9}.{{\left( {\frac{{\ln 4}}{{3\ln 3}}} \right)}^3}} \right)}}$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
$x = \frac{{2\left( {9 - {{\log }_{108}}\left( {4^9.{{\left( {\frac{{\ln 4}}{{3\ln 3}}} \right)}^3}} \right)} \right)}}{3};$

$y = {\log _{108}}\left( {4^9.{{\left( {\frac{{\ln 4}}{{3\ln 3}}} \right)}^3}} \right);$

$z = \frac{{9 - {{\log }_{108}}\left( {4^9.{{\left( {\frac{{\ln 4}}{{3\ln 3}}} \right)}^3}} \right)}}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 06-05-2012 - 21:33