Chủ đề này có 6 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán :
Cho các số thực không âm thoả mãn $(a+b)(b+c)(c+a) \#0, a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$$\left (ab+\dfrac{c}{a+b}\right )\left (bc+\dfrac{a}{b+c}\right )\left (ca+\dfrac{b}{c+a}\right )\le \dfrac{1}{4}$$

Phạm Kim Hùng -Tập huấn đội tuyển 2009

------------------
alex_hoang:Bài này là bài đề nghị thi $IMO$ năm 2009 sau đó nó được lấy lại là đề thi thử đại học của trang wep mathvn.com.Cách giải của nó đã được bàn đến khá nhiều các bạn trong diễn đàn ta thử sức nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 09-06-2012 - 12:52

[Tham Lang]

Vừa làm một bài toán, post lên để mọi người thưởng thức :
Bài toán :
Cho các số thực không âm $x,y,z$ và các số thực $m>n>p$ . Chứng minh rằng :
$$\dfrac{mn+1}{m-n}(y+z)^2+
\dfrac{np+1}{n-p}(z+x)^2+\dfrac{pm+1}{p-m}(x+y)^2\ge 4\sqrt{xyz(x+y+z)}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 16-06-2012 - 16:12

[Tham Lang]

Bài toán :
Cho $a,b,c$ là những số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{a+b+c}\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right )\ge \dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{2\left (a^2+b^2+c^2\right )}$$

Phạm Hữu Đức

Dùng cách giải cổ điển nhé !

[NguyThang khtn]

Bài toán :
Cho các số thực không âm thoả mãn $(a+b)(b+c)(c+a) \#0, a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$$\left (ab+\dfrac{c}{a+b}\right )\left (bc+\dfrac{a}{b+c}\right )\left (ca+\dfrac{b}{c+a}\right )\le \dfrac{1}{4}$$

Phạm Kim Hùng -Tập huấn đội tuyển 2009

------------------
alex_hoang:Bài này là bài đề nghị thi $IMO$ năm 2009 sau đó nó được lấy lại là đề thi thử đại học của trang wep mathvn.com.Cách giải của nó đã được bàn đến khá nhiều các bạn trong diễn đàn ta thử sức nhé.

Bài này mà cho thi thử thì ...
Mình có biết được một lời giải nhưng hơi trâu bò!

[NguyThang khtn]

Bài toán :
Cho $a,b,c$ là những số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{1}{a+b+c}\left (\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right )\ge \dfrac{1}{ab+bc+ca}+\dfrac{1}{2\left (a^2+b^2+c^2\right )}$$

Phạm Hữu Đức

Dùng cách giải cổ điển nhé !

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$(ab+bc+ac)( \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{c+b}+\dfrac{1}{a+c}) \ge a+b+c+\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{2(a^2+b^2+c^2)}$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{ab}{a+b} \ge \dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{2(a^2+b^2+c^2)}$
Theo Cauchy-Schwarz ta có:
$\dfrac{ab}{a+b} \ge \dfrac{(ab+bc+ac)^2}{\sum ab(a+b)}$
Ta sẽ chứng minh:
${(ab+bc+ac)^2}{\sum ab(a+b)} \ge \dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ac)}{2(a^2+b^2+c^2)}$
$\Leftrightarrow \sum ab(a^2+b^2) \ge 2\sum a^2b^2$
Bất đẳng thức cuối đúng theo AM-GM !

[Tham Lang]

Bài 1 mình đã giải quyết tại đây
Cách 2 bài 3.

Mình sẽ dùng cách cổ điển để chứng minh :
BĐT đã cho tương đương :
$$\dfrac{ab+bc+ca}{a+b+c}\sum \dfrac{1}{a+b}\ge 1+\dfrac{ab+bc+ca}{2\left (a^2+b^2+c^2\right )}$$
$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{ab+c(a+b)}{(a+b+c)(a+b)}\ge 1+\dfrac{ab+bc+ca}{2\left (a^2+b^2+c^2\right )}$$
$$\Leftrightarrow \sum \dfrac{ab}{(a+b+c)(a+b)}\ge \dfrac{ab+bc+ca}{2\left (a^2+b^2+c^2\right )}$$
Áp dụng CS, ta lại có :
$\sum \dfrac{ab}{(a+b+c)(a+b)}=\sum \dfrac{a^2b^2}{(a+b+c)ab(a+b)}\ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{(a+b+c)[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]}$
Cần chứng minh :
$$\dfrac{(ab+bc+ca)^2}{(a+b+c)[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)]}\ge \dfrac{ab+bc+ca}{2\left (a^2+b^2+c^2\right )}$$
$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\dfrac{3abc(a+b+c)}{ab+bc+ca}\ge 2(ab+bc+ca)$$
Ta lại có :
$$\dfrac{3abc(a+b+c)}{ab+bc+ca}\ge \dfrac{9abc}{a+b+c}$$
Nên chỉ cần chứng minh :
$$a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}\ge 2(ab+bc+ca)$$
Đây chính là dạng phân thức của Schur bậc 3. Bất đẳng thức đã được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 29-07-2012 - 22:58

[buivantuanpro123]

cho a,b,c>0 tm ab+bc+ca+abc=4.Tìm mọi số thực k tm (k+bc)(k+ca)(k+ab)$\\geq$$\(k+1)^{3}$