Bài 2:$21$ cô gái và $6$ bài toán.
b)Với mỗi cặp một cô gái và một chàng trai,có ít nhất một bài toán mà cả hai người cùng làm được.
Chứng minh rằng có ít nhất một bài toán được giải bởi ít nhất $3$ cô gái và ít nhất $3$ chàng trai.
Bài 3:Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn điều kiện sau đây:
Tồn tại các số nguyên dương $m,a_1,a_2,...,a_{m-1}$ sao cho $n=a_1(m-a_1)+a_2(m-a_2)+...+a_{m-1}(m-a_{m-1})$ ở đây $a_1,a_2,...,a_{m-1}$ không cần phải phân biệt và $n>5$ , giải hệ phương trình
$x_1+x_2+...+x_n=n+2$
$x_1+2x_2+...+nx_n=2n+2$
$x_1+2^2x_2+...+n^2x_n=n^2+n+4$
$x_1+2^3x_2+...+n^3x_n=n^3+n+8$
$ABCD$ nội tiếp một đường tròn,$BCE,CDF$ đều là các số nguyên.Tính chu vi của tứ giác $ABCD$.
Bài 6:$S$ là tập con khác rỗng của tập $\{1,2,...,108\}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
a)Với mỗi hai số $gcd(a,c)=gcd(b,c)=1$.
b)Với mỗi hai số $gcd(a,c')>1,gcd(b,c')>1$ và $|S|$.
Bài 7:Cho $m_1,m_2,...,m_r$(không cần phải phân biệt) và $n_1,n_2,...,n_s$(không cần phải phân biệt) là hai nhóm các số nguyên dương sao cho:Với mỗi số nguyên dương $d>1$,số các số chia hết cho $d$ trong nhóm thứ nhất(tính cả lần lặp) không nhỏ hơn số các số chia hết cho $d$ trong nhóm thứ hai(tính cả lần lặp).
Chứng minh rằng $\dfrac{m_1m_2...m_r}{n_1n_2...n_s}\in\mathbb{Z}$.
Bài 8:Hai đường tròn bán kính bằng nhau $(O_1),(O_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $P,Q$ và hai tâm không nằm trong phần chung của hai hình tròn.$O$ là trung điểm của đoạn $PQ$.Hai đường thẳng $AB,CD$ vẽ qua $P$(không trùng với đường thẳng $PQ$) sao cho $M,N$ là trung điểm của các đoạn $AD,BC$ tương ứng.Chứng minh rằng $M,N,O$ cùng nằm trên một đường thẳng.
Bài 9:Cho một số nguyên $a>1$.Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$,tồn tại đa thức bậc $n$ có hệ số nguyên $p(x)$ sao cho $p(0),p(1),...,p(n)$ là các số nguyên dương đôi một khác nhau,và tất cả chúng đều có dạng $2a^k+3(k\in\mathbb{Z})$.
Bài 10:Tìm giá trị lớn nhất của số thực $k$ sao cho:Miễn là điểm $P$ nằm trong tam giác nhọn $ABC$ thỏa mãn $AP,BP,CP$ giao với $(PBC),(PCA),(PAB)$ tại các điểm $A_1,B_1,C_1$ tương ứng ,thì $k$ lớn nhất sao cho $m$ thỏa mãn :Tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $n^m-m$ không chia hết cho $p$ với mỗi số nguyên $n$.
Bài 13:Cho các số thực khác không $a,b$.Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}->\mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời $k$.Tập $k$-tập</i> nếu tồn tại $x_1,x_2,...,x_k\in\mathbb{Z}$ sao cho $A_i$ là $k_i$-tập $i=\overline{1,t}$ và $ABCD$ là tứ giác lồi với $AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,AC=e,BD=f$.Nếu $max\{a,b,c,d,e,f\}=1$.Tìm giá trị lớn nhất của $abcd$.
Bài 16:$c_0=1,c_1=0,c_2=2005,c_{n+2}=-3c_n-4c_{n-1}+2008(n=1,2,...)$.Đặt $a_n=5(c_{n+2}-c_n)(502-c_{n-1}-c_{n-2})+4^n.2004.501(n=2,3,...)$.Hỏi có phải $a_n$ là số chính phương với mọi $n>2$?
Bài 17:Có $n$ điểm này có đúng $4$ điểm trong $n-1$ điểm còn lại mà có khoảng cách đến nó bằng $1$.Tìm giá trị bé nhất của $n$.
Bài 18:Số lớn nhất trong các số $p_1^{a_1},p_2^{a_2},...,p_t^{a_t}$ được gọi là số tốt của số nguyên dương $n$ nếu $p_1,p_2,...,p_t$ là các số nguyên tố đôi một khác nhau và $a_1,a_2,...,a_t$ là các số nguyên dương.
Cho $n_1,n_2,...,n_{10000}$ là các số nguyên dương phân biệt sao cho các số tốt của tất cả chúng là bằng nhau.Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $b_1,b_2,...,b_{10000}$ sao cho các tập $\{b_i,b_i+n_i,b_i+2n_i,...\},i=\overline{1,10000}$ đôi một rời nhau.
Bài 19:Cho $P$ là điểm nằm trong góc đó sao cho $P$ cắt các tia $M,N$.Tìm giá trị lớn nhất của $OM+ON-MN$.
Bài 20:$a$ là số nguyên dương cố định.Chứng minh $n!=a^b-a^c$ có một số hữu hạn lời giải $(n,b,c)$.
Bài 21:$a,b\in\mathbb{N}^*$ thỏa mãn
$D,E,F$ nằm trên các cạnh $BC,CA,AB$ tương ứng của $EF||BC$.$D_1$ nằm trên $BC$,$P,A$ nằm cùng phía đối với $BC$.Chứng minh $EF,E_1F_1,PD_1$ đồng quy.
Bài 23:$p_1,p_2,...,p_{25}$ là các số nguyên tố nhỏ hơn $2004$.Tìm số nguyên $T$ lớn nhất sao cho mọi số nguyên dương không lớn hơn $T$ có thể biểu diễn như là tổng các ước phân biệt của $(p_1.p_2...p_{25})^{2004}$.
Bài 24:$a,b,c$ là các cạnh của tam giác có chu vi không vượt quá $2\pi$.Chứng minh $sina,sinb,sinc$ là các cạnh của tam giác.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 03-08-2009 - 11:27
