Chủ đề này có 13 trả lời

[yenyen100]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O;R)$, $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$
Chứng minh $HA+HB+HC \ge 6R$

[datkjlop9a2hVvMF]

HA+HB+HC nhìn là biết không $\geq$6R.Coi lại đề
chắc sửa thành HA+HB+HC$\geq$3R
thì làm như zầy,ta có:$\left\{\begin{matrix}HA\geq AE\\HA\geq AD\\HB\geq BE \\HB\geq BK \\HC\geq CD \\HC\geq CK \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2(HA+HB+HC)\geq AB+AC+BC$(1)
Mặt khác ta có:$\left\{\begin{matrix}OA+OB\geq AB\\OB+OC\geq BC \\OA+OC\geq AC \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 6R\geq AB+AC+BC$(2)
Lấy (1)-(2) ta được:2(HA+HB+HC)-6R$\geq$0$\Leftrightarrow$HA+HB+HC$\geq$3R.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datkjlop9a2hVvMF: 16-06-2012 - 20:49

[yeutoan11]

HA+HB+HC nhìn là biết không $\geq$6R.Coi lại đề
chắc sửa thành HA+HB+HC$\geq$3R
thì làm như zầy,ta có:$\left\{\begin{matrix}HA\geq AE\\HA\geq AD\\HB\geq BE \\HB\geq BK \\HC\geq CD \\HC\geq CK \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2(HA+HB+HC)\geq AB+AC+BC$(1)
Mặt khác ta có:$\left\{\begin{matrix}OA+OB\geq AB\\OB+OC\geq BC \\OA+OC\geq AC \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 6R\geq AB+AC+BC$(2)
Lấy (1)-(2) ta được:2(HA+HB+HC)-6R$\geq$0$\Leftrightarrow$HA+HB+HC$\geq$3R.

Làm sao - vế như thê đc

[yenyen100]

Hơ,tam giác ABC có phải nhọn đâu mà giải như thế được ?????
Nếu như nó tù, H sẽ nằm ngoài tam giác,như vậy thì những gì bạn giải sao dúng đc

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 17-06-2012 - 14:35

[NLT]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O;R)$, $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$
Chứng minh $HA+HB+HC \ge 6R$

$\boxed{\text{NLT_CL}}$ Đề đã cho là sai. Mình xin chỉ ra chỗ sai của bài toán (và cũng có thể là hướng giải cho một bài toán khác, chẳng hạn tìm GTNN của tổng $HA+HB+HC$).

Gọi $M, N, P$ là chân các đường vuông góc kẻ từ O xuống $BC,CA,AB$.
Một bài toán quen thuộc, ta dễ dàng chứng minh được $HA=2.OM$, $HB=2.ON$,$HC=2.OP$ bằng cách vẽ các đường kính, chẳng hạn $AD$.
Và từ đó, ta có: $HA+HB+HC=2(OM+ON+OP)$.
Để ý rằng: $OM\leq R;ON\leq R;OP\leq R$ $\to$ $OM+ON+OP\leq 3R$.
Suy ra: $HA+HB+HC\leq 6R$. Nhưng dấu đẳng thức không xảy ra, do vậy $HA+HB+HC < 6R$ $\to$ Đề bài sai hoàn toàn.
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 17-06-2012 - 15:10

[minhtuyb]

$\boxed{\text{NLT_CL}}$ ).
Một bài toán quen thuộc, ta dễ dàng chứng minh được $HA=2.OM$, $HB=2.ON$,$HC=2.OP$ bằng cách vẽ các đường kính, chẳng hạn $AD$.
Và từ đó, ta có: $HA+HB+HC=2(OA+OB+OC)$.
Để ý rằng: $OA\leq R;OB\leq R;OC\leq R$ $\to$ $OA+OB+OC\leq 3R$.

Fix lại đi nhé kéo ,
Mà dấu bằng không xảy ra thì đương nhiên không thể tìm $min(HA+HB+HC)$ như thế này được

Đã edit !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 17-06-2012 - 15:39

[datkjlop9a2hVvMF]

Hơ,tam giác ABC có phải nhọn đâu mà giải như thế được ?????
Nếu như nó tù, H sẽ nằm ngoài tam giác,như vậy thì những gì bạn giải sao dúng đc

Sao ko nói nó tù luôn đi để mọi người hiểu lầm,để mình vẽ hình lại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi datkjlop9a2hVvMF: 17-06-2012 - 15:34

[gdtx]

Bài này bạn thay R thành r là ok

[yenyen100]

sặc,cho tam giác,k có ns tù hay nhọn,mọi TH đều có thể xảy ra

[yenyen100]

$\boxed{\text{NLT_CL}}$ Đề đã cho là sai. Mình xin chỉ ra chỗ sai của bài toán (và cũng có thể là hướng giải cho một bài toán khác, chẳng hạn tìm GTNN của tổng $HA+HB+HC$).

Gọi $M, N, P$ là chân các đường vuông góc kẻ từ O xuống $BC,CA,AB$.
Một bài toán quen thuộc, ta dễ dàng chứng minh được $HA=2.OM$, $HB=2.ON$,$HC=2.OP$ bằng cách vẽ các đường kính, chẳng hạn $AD$.
Và từ đó, ta có: $HA+HB+HC=2(OM+ON+OP)$.
Để ý rằng: $OM\leq R;ON\leq R;OP\leq R$ $\to$ $OM+ON+OP\leq 3R$.
Suy ra: $HA+HB+HC\leq 6R$. Nhưng dấu đẳng thức không xảy ra, do vậy $HA+HB+HC < 6R$ $\to$ Đề bài sai hoàn toàn.
___

Xem lại đi bạn
___
NLT: Xem gì hả bạn? Mình chỉ có ý kiến về đề bài ban đầu thôi!

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O;R)$, $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$
Chứng minh $HA+HB+HC \ge 6R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 17-06-2012 - 18:37

[perfectstrong]

Nếu $\vartriangle ABC$ nhọn. Gọi $M,N,P$ thứ tự là trung điểm $BC,CA,AB$.
Theo cm của Thịnh thì ta có
$HA+HB+HC=2(OM+ON+OP)$
Mà theo định lý Carnot cho $\vartriangle ABC$ nhọn, ta có $OM+ON+OP=R+r$
Theo BĐT Euler, ta có $r \le \dfrac{R}{2}$
$\Rightarrow HA+HB+HC\le 2.\dfrac{3}{2}R=3R$.
Đẳng thức xảy ra khi $\vartriangle ABC$ đều.

[yenyen100]

Cả nhà ơi,,sr nhé,nhầm đề........bé hơn hoặc bằng,hic

[yenyen100]

Thế có ai giải dc nếu tam giác ABC tù k ạ

[vubac]

Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu của O trên BC, CA, AB.
Khi đó

$$\cos A + \cos B + \cos C = \frac{{OD}}{R} + \frac{{OE}}{R} + \frac{{OF}}{R} = \frac{{HA + HB + HC}}{{2R}}$$

Mặt khác

$\cos A + \cos B + \cos C \le \frac{3}{2}$

Từ đó ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 20-06-2012 - 19:42