Chủ đề này có 6 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán :
Cho $x_1, x_2, ..., x_n$ là các số thực dương thoả mãn $x_1x_2...x_n=1$. Chứng minh rằng :
$$n^n\prod \left (x_1^n+1\right )\ge \left (x_1+x_2+...+x_n+\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+...+\dfrac{1}{x_n}\right )^n$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 23-06-2012 - 09:03

[Tham Lang]

Xin được mod chuyển bài toán này sang THPT để mọi người xử. Sao nhiều bài của mình bị lãng quên quá. Hic

[le_hoang1995]

Bài toán :
Cho $x_1, x_2, ..., x_n$ là các số thực dương thoả mãn $x_1x_2...x_n=1$. Chứng minh rằng :
$$n^n\prod \left (x_1^n+1\right )\ge \left (x_1+x_2+...+x_n+\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+...+\dfrac{1}{x_n}\right )^n$$

Áp dụng Holder trực tiếp, ta có
$$(x_1^n+1)(x_2^n+1)...(x_n^n+1)\geq (x_1+x_2.x_3.x_4...x_n)^n=(x_1+\frac{1}{x_1})^n$$
Hoàn toàn tương tự rồi cộng lại, ta được
$$n(x_1^n+1)(x_2^n+1)...(x_n^n+1) \geq (x_1+\frac{1}{x_1})^n+(x_2+\frac{1}{x_2})^n+...+(x_n+\frac{1}{x_n})^n\geq \frac{\left ( x_1+x_2+...+x_n+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n} \right )^n}{n^{n-1}}$$
$$\Leftrightarrow n^n\prod \left (x_1^n+1\right )\ge \left (x_1+x_2+...+x_n+\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+...+\dfrac{1}{x_n}\right )^n$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 16-07-2012 - 15:50

[Tham Lang]

Áp dụng Holder trực tiếp, ta có
$$(x_1^n+1)(x_2^n+1)...(x_n^n+1)\geq (x_1+x_2.x_3.x_4...x_n)^n=(x_1+\frac{1}{x_1})^n$$
Hoàn toàn tương tự rồi cộng lại, ta được
$$n(x_1^n+1)(x_2^n+1)...(x_n^n+1)=(x_1+\frac{1}{x_1})^n+(x_2+\frac{1}{x_2})^n+...+(x_n+\frac{1}{x_n})^n\geq \frac{\left ( x_1+x_2+...+x_n+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n} \right )^n}{n^{n-1}}$$
$$\Leftrightarrow n^n\prod \left (x_1^n+1\right )\ge \left (x_1+x_2+...+x_n+\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+...+\dfrac{1}{x_n}\right )^n$$

Còn một cách nữa, áp dụng trực tiếp Hoder , mọi người thử nghĩ nhé, ngắn lắm

[le_hoang1995]

Còn một cách nữa, áp dụng trực tiếp Hoder , mọi người thử nghĩ nhé, ngắn lắm

Cách này chắc đúng ý cậu.
Giống như trên, ta có $$(x_1^n+1)(x_2^n+1)...(x_n^n+1)\geq (x_1+\frac{1}{x_1})^n$$
$$\Rightarrow \sqrt[n]{(x_1^n+1)(x_2^n+1)...(x_n^n+1)}\geq x_1+\frac{1}{x_1}$$
Hoàn toàn tương tự, ta được $$\Rightarrow n.\sqrt[n]{(x_1^n+1)(x_2^n+1)...(x_n^n+1)}\geq x_1+x_2+...+x_n+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}$$
$$\Leftrightarrow n^n.\prod (x_1^n+1)\geq \left ( x_1+x_2+...+x_n+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n} \right )^n$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 16-07-2012 - 15:53

[Tham Lang]

Cách này chắc đúng ý cậu.
Giống như trên, ta có $$(x_1^n+1)(x_2^n+1)...(x_n^n+1)\geq (x_1+\frac{1}{x_1})^n\Rightarrow \sqrt[n]{(x_1^n+1)(x_2^n+1)...(x_n^n+1)}\geq x_1+\frac{1}{x_1}$$
Hoàn toàn tương tự, ta được $$n.\Rightarrow \sqrt[n]{(x_1^n+1)(x_2^n+1)...(x_n^n+1)}\geq x_1+x_2+...+x_n+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}$$
$$\Leftrightarrow n^n.\prod (x_1^n+1)\geq \left ( x_1+x_2+...+x_n+\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n} \right )^n$$

Không đâu cậu, một cách áp dụng trực tiếp thôi, chỉ cần dựa vào sự sắp xếp biến hợp lí là OK, Nói chung, lời giải này rất hay ! Không cần đi đường vòng đâu

[conmaquetoi]

Bài toán :
Cho $x_1, x_2, ..., x_n$ là các số thực dương thoả mãn $x_1x_2...x_n=1$. Chứng minh rằng :
$$n^n\prod \left (x_1^n+1\right )\ge \left (x_1+x_2+...+x_n+\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+...+\dfrac{1}{x_n}\right )^n$$

Một lời giải khá ngắn gọn và tinh tế như sau :
$$n^n\prod \left (x_1^n+1\right )$$
$=\left (1+x_1^n+x_1^n+...+x_1^n+1+1+...+1\right )\left (x_2^n+1+x_2^n+...+x_2^n+1+x_2^n+...+1\right )...\left (x_n^n+x_n^n+...+x_n^n+1+1+...+x_n^n\right )$
$$\ge \left (\sum x_2x_3...x_n+\sum x_1\right )^n $$
$$=\left (\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+...+\dfrac{1}{x_n}+x_1+x_2+...+x_n\right )^n$$
Ta có ĐPCM. Dấu "=" xảy ra khi $x_1=x_2=...=x_n=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conmaquetoi: 21-07-2012 - 13:25