Chủ đề này có 3 trả lời

[ducthinh26032011]

$1)$Cho $a;b;c\in R^{+}$ thỏa $a+b+c+d=3$
Tìm $min$ của:
$$P=\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}$$
$2)$ Cho $x;y\in R^{+}$ thỏa $\sqrt{xy}(x-y)= x+y$
Tìm min của:
$$P= x+y$$
P/s:Các bạn chém nhiệt tình nhé!

[le_hoang1995]

$1)$Cho $a;b;c\in R^{+}$ thỏa $a+b+c+d=3$
Tìm $min$ của:
$$P=\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}}$$

Không mất tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c\geq d\Rightarrow a^3\geq b^3\geq c^3\geq d^3$
Áp dụng BĐT chebusep cho hai dãy cùng chiều trên , ta có
$$P\geq \frac{1}{4}.\frac{(a+b+c+d)(a^3+b^3+c^3+d^3)}{a^3+b^3+c^3+d^3}=\frac{3}{4}$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=\frac{3}{4}$

$2)$ Cho $x;y\in R^{+}$ thỏa $\sqrt{xy}(x-y)= x+y$
Tìm min của:
$$P= x+y$$

Bài này sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình bậc 2. Từ đẳng thức, ta suy ra $ x > y$, bình phương hai vế, ta được:
$$xy(x-y)^2=(x+y)^2\Leftrightarrow xy[(x+y)^2-4xy]=(x+y)^2$$
$$\Leftrightarrow 4(xy)^2-(x+y)^2.xy+(x+y)^2=0$$
Coi đây là một phương trình bậc 2 ẩn là $xy$, tìm điều kiện để tồn tại $xy>0$.
$$\Delta =(x+y)^4-16(x+y)^2\geq 0\Leftrightarrow (x+y)^2\geq 16\Leftrightarrow x+y\geq 4$$
Khi đó dễ thấy phương trình trên luôn có nghiệm dương nên $P=x+y\geq 4$
Dấu bằng xảy ra khi $x+y=4$ và $xy=2$ tương đương với $\left\{\begin{matrix}
x=2+\sqrt{2}\\ y=2-\sqrt{2}

\end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 26-06-2012 - 13:55

[ducthinh26032011]

Một bài nữa:
Cho $a;b;c$ là 3 cạnh của $\Delta ABC$ không nhọn
C/m:
$$a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq 2+3\sqrt{2}$$
Tìm đk để dấu "=" xảy ra.

[tim1nuathatlac]

Đặt x-y=a, x+y=b cũng suy ra Min x+y