Đến nội dung

Hình ảnh

$ab=cd=ef=1$. Chứng minh :$$\dfrac{a}{c+d+b-1}+...\le a+b+c+d+e+f-3$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Bài toán [huymit_95]
Cho $a,b,c,d,e,f$ là các số thực không âm thoả mãn $ab=cd=ef=1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a}{c+d+b-1}+\dfrac{b}{be+2a+f-2}+\dfrac{c}{ce+2d+f-2}+\dfrac{2d}{3c+a+b+d+e+f-4}+\dfrac{e}{b+d+c+a+f-3}+\dfrac{f}{af+b+2e-2}+\le a+b+c+d+e+f-3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 29-06-2012 - 23:56

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Bài toán [huymit_95]
Cho $a,b,c,d,e,f$ là các số thực không âm thoả mãn $ab=cd=ef=1$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a}{ba+c+d+b-2}+\dfrac{b}{be+2a+f-2}+\dfrac{c}{ce+2d+f-2}+\dfrac{2d}{3c+a+b+d+e+f-4}+\dfrac{e}{b+d+c+a+f-3}+\dfrac{f}{af+b+2e-2}+\le a+b+c+d+e+f-3$$

Anh Mít ơi e cứ thấy đề bài làm sa0 ấy c0 $ab=1$ mà mẫu của bt thứ nhất lại chứa $ab$ =,=''
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#3
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết

Anh Mít ơi e cứ thấy đề bài làm sa0 ấy c0 $ab=1$ mà mẫu của bt thứ nhất lại chứa $ab$ =,=''

Đúng rồi :D Anh nhầm tí, nhưng cũng không ảnh hưởng đến kết quả bài toán đâu :D

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#4
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
Bài này sử dụng đẳng thức sau, với $ab=1$
$$\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}=1$$
Mọi người cô gắng làm nhé. Vì để những bài toán này lãng quên, sau này sẽ thật tiếc :(

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 16-07-2012 - 09:37

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#5
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ với các số dương và để ý $ab=cd=ef=1$ ta có:
$c+d+b-1\geq 2\sqrt{cd}+b-1=b+1$
$be+2a+f-2\geq 3\sqrt[3]{a.be.f}+a-2=a+1$
$ce+2d+f-2\geq 3\sqrt[3]{d.ce.f}+d-2=d+1$
$3c+a+b+d+e+f-4\geq 6\sqrt[6]{a.b.c.d.e.f}+2c-4=2c+2$
$b+d+c+a+f-3\geq 4\sqrt[4]{abcd}+f-3\geq f+1$
$af+b+2e-2\geq 3\sqrt[3]{af.b.e}+e-2=e+1$
Từ đó nên
$\dfrac{a}{c+d+b-1}+\dfrac{b}{be+2a+f-2}+\dfrac{c}{ce+2d+f-2}+\dfrac{2d}{3c+a+b+d+e+f-4}+\dfrac{e}{b+d+c+a+f-3}+\dfrac{f}{af+b+2e-2}\leq \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{c}{d+1}+\frac{d}{c+1}+\frac{e}{f+1}+\frac{f}{e+1}$
Mà mặt khác lại có với $ab=1$ thì $\frac{ab}{b+1}+\frac{ab}{a+1}=1$ (Dễ dàng cm :D) Nên $a-\frac{ab}{b+1}+b-\frac{ab}{a+1}=a+b-1$
$\Leftrightarrow \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}=a+b-1$
Nên $\dfrac{a}{c+d+b-1}+\dfrac{b}{be+2a+f-2}+\dfrac{c}{ce+2d+f-2}+\dfrac{2d}{3c+a+b+d+e+f-4}+\dfrac{e}{b+d+c+a+f-3}+\dfrac{f}{af+b+2e-2}\leq a+b+c+d+e+f-3$(ĐPCM)
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=e=f=1$
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Cảm ơn a e sửa rồi ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 16-07-2012 - 21:57

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#6
Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ với các số dương và để ý $ab=cd=ef=1$ ta có:
$c+d+b-1\geq 2\sqrt{cd}+b-1=b+1$
$be+2a+f-2\geq 3\sqrt[3]{a.be.f}+a-2=a+1$
$ce+2d+f-2\geq 3\sqrt[3]{d.ce.f}+d-2=d+1$
$3c+a+b+d+e+f-4\geq 6\sqrt[6]{a.b.c.d.e.f}+2c-4=2c+2$
$b+d+c+a+f-3\geq 4\sqrt[4]{abcd}+f-3\geq f+1$
$af+b+2e-2\geq 3\sqrt[3]{af.b.e}+e-2=e+1$
Từ đó nên
$\dfrac{a}{c+d+b-1}+\dfrac{b}{be+2a+f-2}+\dfrac{c}{ce+2d+f-2}+\dfrac{2d}{3c+a+b+d+e+f-4}+\dfrac{e}{b+d+c+a+f-3}+\dfrac{f}{af+b+2e-2}\leq \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{c}{d+1}+\frac{d}{c+1}+\frac{e}{f+1}+\frac{f}{e+1}$
Mà mặt khác lại có với $ab=1$ thì $\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}=1$ (Dễ dàng cm :D)
Nên $\dfrac{a}{c+d+b-1}+\dfrac{b}{be+2a+f-2}+\dfrac{c}{ce+2d+f-2}+\dfrac{2d}{3c+a+b+d+e+f-4}+\dfrac{e}{b+d+c+a+f-3}+\dfrac{f}{af+b+2e-2}\leq 3$
Và the0 $AM-GM$ có: $a+b+c+d+e+f-3\geq 6\sqrt[6]{abcdef}-3=3$
Kết hợp 2 điều trên ta có đpcm.Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=e=f=1$

Em nhầm chỗ đó, sửa lại nhé ! (Tất nhiên, đoạn sau cũng phải sửa lại)

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh