Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ với các số dương và để ý $ab=cd=ef=1$ ta có:
$c+d+b-1\geq 2\sqrt{cd}+b-1=b+1$
$be+2a+f-2\geq 3\sqrt[3]{a.be.f}+a-2=a+1$
$ce+2d+f-2\geq 3\sqrt[3]{d.ce.f}+d-2=d+1$
$3c+a+b+d+e+f-4\geq 6\sqrt[6]{a.b.c.d.e.f}+2c-4=2c+2$
$b+d+c+a+f-3\geq 4\sqrt[4]{abcd}+f-3\geq f+1$
$af+b+2e-2\geq 3\sqrt[3]{af.b.e}+e-2=e+1$
Từ đó nên
$\dfrac{a}{c+d+b-1}+\dfrac{b}{be+2a+f-2}+\dfrac{c}{ce+2d+f-2}+\dfrac{2d}{3c+a+b+d+e+f-4}+\dfrac{e}{b+d+c+a+f-3}+\dfrac{f}{af+b+2e-2}\leq \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{c}{d+1}+\frac{d}{c+1}+\frac{e}{f+1}+\frac{f}{e+1}$
Mà mặt khác lại có với $ab=1$ thì $\frac{ab}{b+1}+\frac{ab}{a+1}=1$ (Dễ dàng cm
) Nên $a-\frac{ab}{b+1}+b-\frac{ab}{a+1}=a+b-1$
$\Leftrightarrow \frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}=a+b-1$
Nên $\dfrac{a}{c+d+b-1}+\dfrac{b}{be+2a+f-2}+\dfrac{c}{ce+2d+f-2}+\dfrac{2d}{3c+a+b+d+e+f-4}+\dfrac{e}{b+d+c+a+f-3}+\dfrac{f}{af+b+2e-2}\leq a+b+c+d+e+f-3$(ĐPCM)
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=e=f=1$
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Cảm ơn a e sửa rồi ạ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 16-07-2012 - 21:57