Cho $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn $x_1+x_2+x_3=0,y_1+y_2+y_3=0$. CMR
\[\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)}}+\frac{x_2x_3+y_2y_3}{\sqrt{(x_2^2+y_2^2)(x_3^2+y_3^2)}}+\frac{x_3x_1+y_3y_1}{\sqrt{(x_3^2+y_3^2)(x_1^2+y_1^2)}} \ge -\frac32.\]
$\sum \frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)}}$
Bắt đầu bởi Zaraki, 03-07-2012 - 11:20
USA ELMO Shortlist 2012 USA ELMO Shortlist 2012 USA ELMO Shortlist 2012
#1
Đã gửi 03-07-2012 - 11:20
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 03-07-2012 - 11:25
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Cho $a,b,c$ là ba số thực dương sao cho $a \le b \le c$ và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
\[\frac{a+c}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{b+c}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} \le \frac{3\sqrt{6}(b+c)^2}{\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}.\]
\[\frac{a+c}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{b+c}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} \le \frac{3\sqrt{6}(b+c)^2}{\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}.\]
- Mai Duc Khai yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 03-07-2012 - 11:27
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Cho $a,b,c \ge 0$. Chứng minh rằng $$(a^2+2bc)^{2012}+(b^2+2ca)^{2012}+(c^2+2ab)^{2012}\le (a^2+b^2+c^2)^{2012}+2(ab+bc+ca)^{2012}.$$
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#4
Đã gửi 29-07-2012 - 23:22
Tham Lang
-
- Thành viên
-
- 1149 Bài viết
Thượng úy
Cho mình xin phá lệ đêm nayCho $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn $x_1+x_2+x_3=0,y_1+y_2+y_3=0$. CMR
\[\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)}}+\frac{x_2x_3+y_2y_3}{\sqrt{(x_2^2+y_2^2)(x_3^2+y_3^2)}}+\frac{x_3x_1+y_3y_1}{\sqrt{(x_3^2+y_3^2)(x_1^2+y_1^2)}} \ge -\frac32.\]
Từ giả thiết, ta có :
$$\left\{\begin{array}{1}x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=x_3^2 \\y_1^2+y_2^2+2y_1y_2 =y_3^2 \end{array}\right.$$
Tương tự với các bộ số còn lại, bây giờ ta chỉ cần chứng minh :
$$\sum \dfrac{x_3^2+y_3^2-\left (x_1^2+x_2^2+y_1^2+y_2^2\right )}{\sqrt{\left (x_1^2+y_1^2\right )\left (x_2^2+y_2^2\right )}}\ge -3$$
Đặt $\left\{\begin{array}{1}\sqrt{x_1^2+y_1^2}=a \\ \sqrt{x_2^2+y_2^2}=b \\ \sqrt{x_3^2+y_3^2}=c \end{array}\right.$
Lúc đó, BĐT cần chứng minh tương đương :
$$\dfrac{c^2-a^2-b^2}{ab}+\dfrac{b^2-c^2-a^2}{ca}+\dfrac{a^2-b^2-c^2}{bc} \ge -3$$
$$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$
Đúng theo $Schur$. BĐT đã được chứng minh.
- le_hoang1995 yêu thích
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
#5
Đã gửi 29-07-2012 - 23:49
Tham Lang
-
- Thành viên
-
- 1149 Bài viết
Thượng úy
Có phải thế này không nhỉCho $a,b,c$ là ba số thực dương sao cho $a \le b \le c$ và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
\[\frac{a+c}{\sqrt{a^2+c^2}}+\frac{b+c}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}} \le \frac{3\sqrt{6}(b+c)^2}{\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)}}.\]
BĐT cần chứng minh tương đương :
$$\sum (a+c)\sqrt{\left (b^2+c^2\right )\left (a^2+b^2\right )} \le 3\sqrt{6}(b+c)^2$$
Mặt khác, vì $a,b,c$ dương nên suy ra :
$$\sum (a+c)\sqrt{\left (b^2+c^2\right )\left (a^2+b^2\right )} \le \sum (a+c)(b+c)(a+b) =3(a+b)(b+c)(c+a)$$
Như vậy, chỉ cần chứng minh :
$$(a+b)(c+a) \le \sqrt{6}(b+c)(a+b+c)$$
Đúng vì $\left\{\begin{array}{1}c+a \le b+c \\a+b \le \sqrt{6}(a+b+c) \end{array}\right.$
Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: USA ELMO Shortlist 2012, USA ELMO Shortlist 2012, USA ELMO Shortlist 2012
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
Tìm mọi hàm số $f : \mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ sao cho $f(x)f(y)f(x+y) = f(xy)(f(x) + f(y))$ for all $x,y\in\mathbb{Q}$.Bắt đầu bởi Zaraki, 03-07-2012  USA ELMO Shortlist 2012
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\left\lfloor\frac{(a-b)^2-1}{ab}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{(a-b)^2-1}{ab-1}\right\rfloor.$Bắt đầu bởi Zaraki, 03-07-2012 USA ELMO Shortlist 2012
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Có hay không hai số nguyên dương $m,n$ sao cho tồn tại $2012$ số nguyên dương $x$ sao cho $m-x^2$ và $n-x^2$ là số chính phương ?Bắt đầu bởi Zaraki, 03-07-2012 USA ELMO Shortlist 2012
|
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $4^n+6^n+9^n$ là số chính phươngBắt đầu bởi Zaraki, 03-07-2012 USA ELMO Shortlist 2012
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
