Chủ đề này có 4 trả lời

[anh qua]

Chào tất cả các thành viên của VMF! Ngày mai - 05/07/2012 kì thi Olympic Toán học Quốc tế IMO sẽ khai mạc, kì thi diễn ra  từ 05/07 đến 16/07. Mình lập topic này để mọi người post các Problem của kì thi và cùng nhau thảo luận về IMO lần này. Hi vọng mọi người tham gia nhiệt tình. Mình sẽ update các bài toán sớm nhất có thể.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 04-07-2012 - 19:46

[Crystal]

ĐỀ THI IMO 2012

NGÀY 1 - 10/07/2012

Problem 1: Given triangle $ABC$ the point $J$ is the centre of the excircle opposite the vertex $A.$ This excircle is tangent to the side $BC$ at $M$, and to the lines $AB$ and $AC$ at $K$ and $L$, respectively. The lines $LM$ and $BJ$ meet at $F$, and the lines $KM$ and $CJ$ meet at $G.$ Let $S$ be the point of intersection of the lines $AF$ and $BC$, and let $T$ be the point of intersection of the lines $AG$ and $BC.$ Prove that $M$ is the midpoint of $ST.

Bài toán 1: Cho tam giác $ABC$, gọi $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$, đường tròn này tiếp xúc với $BC$ tại $M$ và các tia $AB, AC$ tại $K,L$. Các đường thẳng $LM$ và $BJ$ cắt nhau tại $F$, $KM$ và $CJ$ cắt nhau tại $G$. $S$ là giao điểm của $AF$ và $BC$, $T$ là giao điểm của $AG$ và $BC$. Chứng minh rằng $M$ là trung điểm của $ST$.

Problem 2: Let $n \ge 3$ be an integer, and let $a_2, a_3, \ldots , a_n$ be positive real numbers such that $a_2\cdots a_n = 1.$ Prove that \[(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n > n^n\]

Bài toán 2: Cho số nguyên $n \ge 3$ và ${a_2},{a_3},...,{a_n}$ là các số thực dương thỏa mãn ${a_2}{a_3}...{a_n} = 1$. Chứng minh rằng:
\[(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots (1+a_n)^n > n^n\]

Problem 3: The liar's guessing game is a game played between two players $A$ and $B$. The rules of the game depend on two positive integers $k$ and $n$ which are known to both players.

At the start of the game $A$ chooses integers $x$ and $N$ with $1 \le x \le N.$ Player $A$ keeps $x$ secret, and truthfully tells $N$ to player $B$. Player $B$ now tries to obtain information about $x$ by asking player $A$ questions as follows: each question consists of $B$ specifying an arbitrary set $S$ of positive integers (possibly one specified in some previuos question), and asking $A$ whether $x$ belongs to $S$. Player $B$ may ask as many questions as he wishes. After each question, player $A$ must immediately answer it with yes or no, but is allowed to lie as many times as she wants; the only restriction is that, among any $k+1$ consecutive answers, at least one answer must be truthful.

After B has asked as many questions as he wants, he must specify a set $X$ of at most $n$ positive integers. If $x$ belongs to $X$, then $B$ wins; otherwise, he loses. Prove that:

1. If $n \ge 2^k,$ then $B$ can guarantee a win.
2. For all sufficiently large $k$, there exists an integer $n \ge 1.99^k$ such that $B$ cannot guarantee a win.

Bài toán 3: Trò chơi đoán kẻ nói dối là một trò chơi giữa hai người chơi $A$ và $B$. Quy tắc của trò chơi phụ thuộc vào hai số nguyên dương $k$ và $n$ mà cả hai người chơi đều đã biết trước.

Bắt đầu trò chơi, $A$ sẽ chọn các số nguyên $x$ và $N$ với $1 \le x \le N$. $A$ giữ bí mật số $x$ và nói số $N$ cho $B$. $B$ sẽ cố thu nhận thông tin về số $x$ bằng cách hỏi $A$ các câu hỏi như sau : mỗi câu hỏi bao gồm việc $B$ xác định một tập $S$ tùy ý các số nguyên dương (có thể là một tập đã được nhắc đến trong câu hỏi trước đó) và hỏi $A$ xem $x$ có thuộc $S$ hay không. Sau mỗi câu hỏi, $A$ phải trả lời có hoặc không, nhưng có thể nói dối bao nhiêu lần tùy thích, chỉ có điều là phải trả lời đúng ít nhất một trong số $k+1$ câu hỏi liên tiếp.

Sau khi $B$ đã hỏi xong, $B$ phải chỉ ra một tập $X$ có tối đa $n$ số nguyên dương. Nếu $x \in X$, $B$ thắng; nếu ngược lại, $B$ thua. Chứng minh rằng :

1. Nếu $n \ge 2^k$, $B$ có thể đảm bảo một chiến thắng.
2. Với mọi $k$ đủ lớn, tồn tại một số nguyên $n \ge 1.99^k$ sao cho $B$ không thể đảm bảo có một chiến thắng.

Nguồn: AoPS

Các bạn có thể tải Đề thi tại đây.

[Crystal]

Các bạn click chọn các link ở mỗi bài toán để đến topic thảo luận nhé.

Topic này chỉ dành để cập nhật đề thi nên sẽ được khóa.

[Crystal]

NGÀY 2 - 11/07/2012

Problem 4. Find all functions $f:Z\rightarrow Z$, such that for all $a+b+c=0$ holds:
\[f{(a)^2} + f{(b)^2} + f{\left( c \right)^2} = 2f(a)f(b) + 2f(b)f\left( c \right) + 2f\left( c \right)f(a)\]

Bài toán 4. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$, sao cho với mọi $a + b + c = 0$ thì \[f{(a)^2} + f{(b)^2} + f{\left( c \right)^2} = 2f(a)f(b) + 2f(b)f\left( c \right) + 2f\left( c \right)f(a)\]


Problem 5.Let $ABC$ be a triangle with $\angle BCA=90^{\circ}$, and let $D$ be the foot of the altitude from $C$. Let $X$ be a point in the interior of the segment $CD$. Let $K$ be the point on the segment $AX$ such that $BK=BC$. Similarly, let $L$ be the point on the segment $BX$ such that $AL=AC$. Let $M$ be the point of intersection of $AL$ and $BK$.
Show that $MK =ML$

Bài toán 5. Cho tam giác vuông $ABC$ với $ \angle BCA = 90 ^ {\circ} $, $ D $ là chân đường cao hạ từ $ C $. $ X $ là một điểm trên đoạn $ CD $. $ K $ là điểm trên đoạn $AX $ sao cho $ BK = BC $. Tương tự, $ L $ là điểm trên đoạn $ BX $ sao cho $AL = AC $. $ AL $ và $ BK $ cắt nhau tại $M$.
Chứng minh rằng $MK = ML$


Problem 6. Find all positive integers $n$ for which there exist non-negative integers $a_1, a_2, \ldots, a_n$ such that
$ \dfrac{1}{2^{a_1}} + \dfrac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \dfrac{1}{2^{a_n}} = \dfrac{1}{3^{a_1}} + \dfrac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \dfrac{n}{3^{a_n}} = 1.$

Bài toán 6. Tìm tất cả những số nguyên dương $n$ sao cho: Tồn tại các số nguyên không âm $a_1, a_2, \ldots, a_n$ thỏa mãn:
$ \dfrac{1}{2^{a_1}} + \dfrac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \dfrac{1}{2^{a_n}} = \dfrac{1}{3^{a_1}} + \dfrac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \dfrac{n}{3^{a_n}} = 1.$

(Nguồn AoPS)

Các bạn có thể tải Đề thi tại đây.

Đây là đề thi IMO 2012 bản tiếng Việt.

>>  IMO_2012_vie.pdf   171.09K   422 Số lần tải

[Crystal]

CẬP NHẬT:

LỜI GIẢI ĐỀ THI IMO 2012 THEO IMOmath.com