Chủ đề này có 2 trả lời

[Cao Xuân Huy]

Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:
\[\sqrt {a + {{(b - c)}^2}} + \sqrt {b + {{(c - a)}^2}} + \sqrt {c + {{(a - b)}^2}} \ge \sqrt{3}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 05-07-2012 - 09:58

[WhjteShadow]

Huy ơi có gõ nhầm đề không thế $a+b+c=1$ hay $=3$ xem lại xem @@~
_________________
Huy: Sorry nhầm tí xíu. $\sqrt{3}$ chứ không phải $3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 05-07-2012 - 09:59

[LilTee]

Bài toán: Cho $a,b,c$ là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh:
\[\sqrt {a + {{(b - c)}^2}} + \sqrt {b + {{(c - a)}^2}} + \sqrt {c + {{(a - b)}^2}} \ge \sqrt{3}\]

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\ge b\ge c.$
Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức véc-tơ, ta có \[\begin{align}
\sqrt{a+{{(b-c)}^{2}}}+\sqrt{b+{{(c-a)}^{2}}}+\sqrt{c+{{(a-b)}^{2}}}&=\sqrt{a+{{(b-c)}^{2}}}+\sqrt{b+{{(a-c)}^{2}}}+\sqrt{c+{{(a-b)}^{2}}} \\
& \ge \sqrt{{{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right)}^{2}}+{{\left[ (b-c)+(a-c)+(a-b) \right]}^{2}}}. \\
& =\sqrt{{{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right)}^{2}}+4{{\left( a-c \right)}^{2}}}. \\
\end{align}\] Như vậy, bài toán được chứng minh nếu ta chỉ ra được $${{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right)}^{2}}+4{{\left( a-c \right)}^{2}}\ge 3\left( a+b+c \right),$$ hay tương đương $$4{{\left( a-c \right)}^{2}}\ge {{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{b}-\sqrt{c} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{c}-\sqrt{a} \right)}^{2}}.$$ Ta có $$\begin{align}
{{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{b}-\sqrt{c} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{a}-\sqrt{c} \right)}^{2}} & \le {{\left[ \left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)+\left( \sqrt{b}-\sqrt{c} \right) \right]}^{2}}+{{\left( \sqrt{a}-\sqrt{c} \right)}^{2}} \\
& =2{{\left( \sqrt{a}-\sqrt{c} \right)}^{2}}. \\
\end{align}$$ Nên công việc của ta chỉ còn phải chứng minh \[\begin{align}
& 2{{\left( a-c \right)}^{2}}\ge {{\left( \sqrt{a}-\sqrt{c} \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow 2{{\left( \sqrt{a}-\sqrt{c} \right)}^{2}}{{\left( \sqrt{a}+\sqrt{c} \right)}^{2}}\ge {{\left( \sqrt{a}-\sqrt{c} \right)}^{2}} \\
& \Leftrightarrow {{\left( \sqrt{a}-\sqrt{c} \right)}^{2}}\left[ 2{{\left( \sqrt{a}+\sqrt{c} \right)}^{2}}-1 \right]\ge 0. \\
\end{align}\] Thật vậy, vì $a\ge b$ và $c \ge 0$, nên ta có \[2{{\left( \sqrt{a}+\sqrt{c} \right)}^{2}}=2\left( a+c+2\sqrt{ac} \right)=\left( a+c+a \right)+\left( c+4\sqrt{ac} \right)\ge a+c+b=1.\] Bài toán được giải quyết trọn vẹn .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$ hoặc $a=1, \ b=c=0$ hoặc các hoán vị. $\blacksquare$