Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh Tam giác đều


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
Bài toán
Cho tam giác abc có số đo các đường cao là các số nguyên
bán kính đường tròn nội tiếp tam giác=1
Chứng minh Tam giác đó đều.
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#2
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
Hình đã gửi
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh $\triangle ABC$ lần lượt là $a,b,c$. Đường cao hạ từ các đỉnh $A,B,C$ là $x,y,z$. Bán kính đường tròn nội tiếp $\triangle ABC = r = 1$
Khi đó ta có
$S_{ABC}=\frac{1}{2}ax=\frac{1}{2}by=\frac{1}{2}cz=\frac{1}{2}(a+b+c)r$
$\Rightarrow ax=by=cz=a+b+c$
Ta sẽ đi chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = 1(*)$
Thật vậy, ta có:
$ax=by=cz \Rightarrow \frac{a}{\frac{1}{x}}=\frac{b}{\frac{1}{y}}=\frac{c}{\frac{1}{z}}$
$= \frac{a+b+c}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=a+b+c$
$\Rightarrow (*)$
#WLOG: $0 \leq x \leq y \leq z$
$\Rightarrow \frac{1}{x}\geq \frac{1}{y} \geq \frac{1}{z}$
$\Rightarrow \frac{3}{x} \leq 1$
$\Rightarrow x \leq 3$
Thử từng trường hợp:
*$x=1$.
$\Rightarrow \text{ Loại trực tiếp, miễn bàn}$
*$x=2$
$\Rightarrow \frac{1}{y}+\frac{1}{z} = \frac{1}{2}$
Mà $x,y \epsilon Z$
$\Rightarrow y,z\epsilon \begin{Bmatrix} (4,4);(3;6) \end{Bmatrix}$
$y=z=4 \Rightarrow 2a=4b=4c \text{ Áp dụng bđt tam giác vô tam giác ABH thấy ko thỏa mãn} \Rightarrow \text{loại}$
$y=3;z=4 \Rightarrow 2a=3b=4c (loại)$
*$x=3$
$\Rightarrow x=y=z=3$
$\Rightarrow a=b=c \Rightarrow \triangle ABC:đều$
$\Rightarrow đpcm.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 09-07-2012 - 22:27


#3
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết
Lời giải khác (ngắn đẹp hơn :D )
http://diendantoanho...ndpost&p=294661

Bài 1:
\[\begin{array}{l}
r = 1 = \frac{S}{p} \Rightarrow S = p \\
{h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2p}}{a} = \frac{{a + b + c}}{a} = 1 + \frac{{b + c}}{a} \Rightarrow \frac{{b + c}}{a} = x \in {N^*} \\
\end{array}\]
Do $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên $b+c>a \Rightarrow x>1 \Rightarrow x \geq 2 \Rightarrow b+c \geq 2a$
Tương tự, ta có: $a+c \geq 2b;a+b \geq 2c$. Cộng các bđt này lại, ta thu được:
\[ 2(a+b+c) \geq 2(a+b+c) \]
Đẳng thức xảy ra nên $b+c=2a;c+a=2b;a+b=2c \Rightarrow a=b=c \Rightarrow Q.E.D$


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh