Bài toán :
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\left (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right )^2\ge \left (a+b+c\right )\left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right )$$
Yêu cầu : Nhiều cách vào nhé !
$$\left (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right )^2\ge \sum a\sum \dfrac{1}{a}$$
Bắt đầu bởi Tham Lang, 13-07-2012 - 06:09
#1
Đã gửi 13-07-2012 - 06:09
Tham Lang
-
- Thành viên
-
- 1149 Bài viết
Thượng úy
#2
Đã gửi 13-07-2012 - 07:10
Secrets In Inequalities VP
-
- Thành viên
-
- 309 Bài viết
Sĩ quan
Một cách !Bài toán :
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\left (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right )^2\ge \left (a+b+c\right )\left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right )$$
Yêu cầu : Nhiều cách vào nhé !
Khai triển ra ta đc :
$ \sum \frac{a^2}{b^2}+2\sum \frac{a}{c}\geq 3+\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{a}{c}\Leftrightarrow \sum \frac{a^2}{b^2}+\sum \frac{a}{c}\geq 3+\sum \frac{a}{b} $
Đây là kết họp của 2 BĐT sau :
$ \sum \frac{a}{c}\geq 3 $ (AM-GM) và
$ \sum \frac{a^2}{b^2}\geq \frac{1}{3}.(\sum\frac{a}{b})^{2}= \frac{1}{3}.\sum\frac{a}{b}.\sum\frac{a}{b}\geq \frac{1}{3}.3.\sum\frac{a}{b}= \sum\frac{a}{b} $
( Cauchy-Schwarz và AM-GM )
Thế là xong 1 cách rồi !
m.n tiếp tục cách khác đj
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
