Chủ đề này có 3 trả lời

[henry0905]

Cho a,b,c>0. Chứng minh:
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{3}(a+b+c)\sqrt[3]{(abc)^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 19-07-2012 - 14:00

[WhjteShadow]

Cho a,b,c>0. Chứng minh:
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{3}(ab+c)\sqrt[3]{(abc)^{2}}$

100% cái chỗ $ab+c$ kìa phải là $a+b+c$
Ta có hằng đẳng thức $(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$
$\to 9[(a+b)(b+c)(c+a)]=9(a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc\geq 8(a+b+c)(ab+bc+ca)$
$\to (a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$
Vậy ta chỉ cần chứng minh $\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq \frac{8}{3}(a+b+c)\sqrt[3]{(abc)^2}$
Nhưng bất đẳng thức này hiển nhiên đúng the0 AM-GM (Vì $ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}$)
Bậy bài toán đc cm dấu = xảy ra khi $a=b=c$

[thaohienmen]

Cho a, b, c>0 thỏa mãn: abc=1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1}\le3$
Các bạn giúp mình giải bài này với. Xin cảm ơn trước nhé

Cho $0\le a \le b \le c$ và $ a^2 + b^2 +c^2 = 3$. Tìm GTLN: $ P = 5a - 4abc $

Cho $0 \le a \le b \le c$ và $a^2 +b^2+c^2=3$. Tìm GTLN: $P = 5a - 4 abc$
Mình đang thử viết công thức
Giải giúp mình với.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-07-2012 - 17:35

[bastian schweinsteiger]

Cho a, b, c>0 thỏa mãn: abc=1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2-a+1}+\frac{1}{b^2-b+1}+\frac{1}{c^2-c+1}\le3$
Các bạn giúp mình giải bài này với. Xin cảm ơn trước nhé

Trước hết ta chứng minh rằng với $x,y,z> 0$ thỏa mãn $xyz=1$ thì
$ \sum \frac{1}{x^{2}+x+1}\geq 1$
thật vậy , do $ x,y,z> 0, xyz=1$ nên tồn tại các số $ m,n,p> 0$ sao cho
$ x=\frac{np}{m^{2}}, y=\frac{pm}{n^{2}}, z=\frac{mn}{p^{2}}$
bất đẳng thức trở thành
$ \sum \frac{m^{4}}{m^{4}+m^{2}np+n^{2}p^{2}}\geq 1$
từ đây sử dụng bất đẳng thưc cauchy schwarz và bất đẳng thức quen thuộc $\sum n^{2}m^{2}\geq \sum m^{2}np$
ta có $ \sum \frac{m^{4}}{m^{4}+m^{2}np+n^{2}p^{2}}\geq \frac{(\sum m^{2})^{2}}{\sum (m^{4}+m^{2}np+n^{2}p^{2})}\geq \frac{(\sum m^{2})^{2}}{\sum m^{4}+2\sum n^{2}p^{2}}\geq 1$
trở lại bài toán trên , sử dụng bdt trên ta được
$\sum \frac{1}{\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{a^{2}}+1}\geq 1 \Leftrightarrow \sum \frac{a^{4}}{a^{4}+a^{2}+1}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{2(a^{2}+1)}{a^{4}+a^{2}+1}\leq 4\Leftrightarrow \sum \frac{(a^{2}+a+1)+ (a^{2}-a+1)}{(a^{2}+a+1)(a^{2}-a+1)}\leq 4\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{2}+a+1}+\sum \frac{1}{a^{2}-a+1}\leq 4$
mà$ \sum \frac{1}{a^{2}+a+1}\geq 1\Rightarrow$ dpcm
MOD: Không nên dùng lệnh \LARGE vì nhìn khá mất thẩm mĩ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 19-07-2012 - 17:35