Chủ đề này có 3 trả lời

[chrome98]

Cho các số thực dwong $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a+b+1}{a+b^2+c^3}\leq \frac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$

[minh29995]

Cho các số thực dwong $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a+b+1}{a+b^2+c^3}\leq \frac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$

Cho các số thực dwong $a,b,c$ thoả mãn $abc=1$. Chứng minh rằng:
$\sum \frac{a+b+1}{a+b^2+c^3}\leq \frac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$

Hơi mệt một chút, BĐT này không có dấu bằng xảy ra!
BĐT đã cho tương đương với:
$(3+ab+bc+ca+a+b+c)(a+b^2+c^3)\geq (a+b+c)(a+b+1)$
Áp dụng AM_GM ta có:
$ab+bc+ca\geq 3$
Do đó: cần chứng minh:
$(6+a+b+c)(a+b^2+c^3)\geq (a+b+c)(a+b+1)$
$\Leftrightarrow 5a+5b^2+6c^3+ab^2+ac^3+b^3+bc^3+cb^2+c^4\geq ab+b+c+bc$
Áp dụng AM-Gm thì:
$b^2+1>b, c^3+1+1>2c, ab^2+a>ab, c+cb^2>bc$
$a+a+a+bc^3+b^2\geq 5$
Do đó VT>VP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minh29995: 21-07-2012 - 22:01

[WhjteShadow]

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$\frac{a+b+1}{a+b^2+c^3}=\frac{(a+b+1)(a+1+\frac{1}{c})}{(a+b^2+c^3)(a+1+\frac{1}{c})}\leq \frac{(a+b+1)(a+1+ab)}{(a+b+c)^2}$ (Do $abc=1$)
Tương tự và cộng lại ta có:
$\sum \frac{a+b+1}{a+b^2+c^3}\leq \frac{(a+b+1)(a+1+ab)+(b+c+1)(b+1+bc)+(c+a+1)(c+1+ca)}{(a+b+c)^2}$
Vậy công việc còn lại là chỉ phải chứng minh:
$\frac{(a+b+1)(a+1+ab)+(b+c+1)(b+1+bc)+(c+a+1)(c+1+ca)}{(a+b+c)^2}\leq \frac{(a+1)(b+1)(c+1)+1}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow (a+b+1)(a+1+ab)+(b+c+1)(b+1+bc)+(c+a+1)(c+1+ca)\leq [(a+1)(b+1)(c+1)+1](a+b+c)$
Nhưng đây lại chỉ là 1 đẳng thức với $abc=1$
Vậy phép chứng minh hoàn tất.Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$
---------------------------------------------------------------------
P/s:anh Minh làm sai rồi kìa 8-|

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 21-07-2012 - 22:04

[WhjteShadow]

:| a có để ý đến $\sum$ không thế?