Chủ đề này có 3 trả lời

[minhdat881439]

Bài toán 1:

Cho a,b,c>0.CMR
$​\sqrt{\dfrac{a}{a+2b+3c}}+\sqrt{\dfrac{b}{b+2c+3a}}+\sqrt{\dfrac{c}{c+2a+3b}} \le \sqrt{\dfrac{3}{2}}$

-------------------------------------------------------

Bài toán 2:
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^2}{3a^2-ab+7b^2}+\dfrac{b^2}{3b^2-bc+7c^2}+\dfrac{c^2}{3c^2-ca+7a^2}\ge \dfrac{1}{3}.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhdat881439: 24-07-2012 - 16:16

[viet 1846]

Bài 2: Ta có 1 BĐT quen thuộc
Với $x,y,z>0, xyz=1$ thì: $$\frac{1}{x^{2k}+x^{k}+1}+\frac{1}{y^{2k}+y^{k}+1}+\frac{1}{z^{2k}+z^{k}+1}\ge 1.$$
BĐT cần chứng minh tương đương: $$P=\frac{1}{7x^2-x+3}+\frac{1}{7y^{2}-y+3}+\frac{1}{7z^{2}-z+3}\ge \dfrac{1}{3}.$$
với $xyz=1$.
Theo AM-GM: $$3.x^{\frac{26}{9}}+3.x^{\frac{13}{9}}+x\ge 7x^2.$$
Suy ra: $$\frac{1}{7x^2-x+3}\ge \frac{1}{3(x^{\frac{26}{9}}+x^{\frac{13}{9}}+1)}$$
Từ đó ta được: $$P\ge \dfrac{1}{3}. \left ( \frac{1}{x^{\frac{26}{9}}+x^{\frac{13}{9}}+1}+ \frac{1}{y^{\frac{26}{9}}+y^{\frac{13}{9}}+1}+ \frac{1}{z^{\frac{26}{9}}+z^{\frac{13}{9}}+1} \right )\ge \dfrac{1}{3}$$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

[Tang Chau Phong]

Bài 2: Ta có 1 BĐT quen thuộc
Với $x,y,z>0, xyz=1$ thì: $$\frac{1}{x^{2k}+x^{k}+1}+\frac{1}{y^{2k}+y^{k}+1}+\frac{1}{z^{2k}+z^{k}+1}\ge 1.$$
BĐT cần chứng minh tương đương: $$P=\frac{1}{7x^2-x+3}+\frac{1}{7y^{2}-y+3}+\frac{1}{7z^{2}-z+3}\ge \dfrac{1}{3}.$$
với $xyz=1$.

Từ chỗ này có thể đưa về khảo sát hàm $f(t)=\frac{1}{7x^2-x+3} \Longleftrightarrow Min_{f(t)}=f(1)=\frac{1}{9}$ với $x\in (0;1]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tang Chau Phong: 24-07-2012 - 17:14

[Tham Lang]

Từ chỗ này có thể đưa về khảo sát hàm $f(t)=\frac{1}{7x^2-x+3} \Longleftrightarrow Min_{f(t)}=f(1)=\frac{1}{9}$ với $t\in (0;1]$

Điều kiện của $t$ đâu phải là $t \in (0, 1]$ mà phải là chỉ có ít nhất một trong 3 số $x,y,z \in (0, 1]$ thôi
Và hàm số này nếu khảo sát cũng không có GTNN .