Chủ đề này có 1 trả lời

[henry0905]

Chứng minh có duy nhất 1 phương trình bậc 2 có hệ số nguyên thỏa $x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$ là nghiệm.

[ducthinh26032011]

Chứng minh có duy nhất 1 phương trình bậc 2 có hệ số nguyên thỏa $x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}$ là nghiệm.

Trục căn thức:
$x=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}=\frac{-8-\sqrt{60}}{2}$
Gọi phương trình đó là $ax^{2}+bx+c=0(a,b,c\in Z)$ và $\Delta =b^{2}-4ac$ nguyên
có 2 nghiệm là:
$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2};x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2}$
Ta thấy $x$ có dạng $x_{2}$ và khi đó,để $b$ nguyên và $\Delta$ nguyên thì $b=8,\Delta =60$
$\Leftrightarrow b^{2}-4ac =60\Leftrightarrow ac=1\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=c=1 & & \\ a=c=-1& & \end{bmatrix}$
Vậy ...