Chủ đề này có 1 trả lời

[Tham Lang]

Bài toán
Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{2\left (a^3+b^3+c^3\right )}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 2$$

Nguyễn Đình Thi

Đừng dùng đao to búa lớn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 26-07-2012 - 16:54

[duongvanhehe]

Bài toán
Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng :
$$\dfrac{2\left (a^3+b^3+c^3\right )}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}+\dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge 2$$

Nguyễn Đình Thi

Đừng dùng đao to búa lớn nhé

Để chứng minh BDT đã cho,ta sẽ chứng minh kết quả sau:$\frac{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}
\Leftrightarrow 2(a^{3}+b^{3}+c^{3})(ab+bc+ca)\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})\sum ab(a+b)
\Leftrightarrow 2\sum ab(a^{3}+b^{3})+2abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq \sum ab(a^{3}+b^{3}+ab(a+b))+2abc(ab+bc+ca)$
BDT này hiển nhiên đúng vì:$2\sum ab(a^{3}+b^{3})- \sum ab(a^{3}+b^{3}+ab(a+b))
=\sum ab(a^{3}+b^{3}-ab(a+b))=\sum ab(a+b)(a-b)^{2}\geq 0$
và$ 2abc(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2abc(ab+bc+ca)$
Từ đó suy ra $VT\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geq 2$

(tác giả bài này là Nguyễn Đình Thi sao???)