Chủ đề này có 4 trả lời

[NguyenTaiLongYoshi]

1,Cho $a,b,c>0$ .CMR:
$(a^{2}+2bc)(b^{2}+2ac)(c^{2}+2ab)\geq abc(a+2b)(b+2c)(c+2a)$
2.CMR:
$\sum _{cyc}\frac{a}{\sqrt{a^{2}+8bc}}\geq 1$ với $a,b,c>0$

[Poseidont]

2/
Áp dụng BĐT Holder ta có
$VT^2.\sum a(a^2+8ba)\geq (a+b+c)^3$ (*)
Mặt khác $\sum a(a^2+8ba)=\sum a^3+24abc$
T cần chứng minh $(a+b+c)^3\geq \sum a^3+24abc\Leftrightarrow \sum c(a-b)^2$(**)
Từ (*)và(**) $\Rightarrow Q.E.D$

[duongvanhehe]

1,Cho $a,b,c>0$ .CMR:
$(a^{2}+2bc)(b^{2}+2ac)(c^{2}+2ab)\geq abc(a+2b)(b+2c)(c+2a)$

Bằng khai triển trực tiếp ta thấy BĐT trên tương đương với:
$\sum a^{3}b^{3}+2abc(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq abc\left ( a^{2}b+b^{2}c +c^{2}a+2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\right )$
Nhưng BĐT này hiển nhiên đúng vì:
$\sum a^{3}b^{3}=\frac{\sum 2a^{3}b^{3}+a^{3}c^{3}}{3}\geq \sum a^{3}b^{2}c=abc(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$
Và $a^{3}+b^{3}+c^{3}=\frac{1}{3}\sum (a^{3}+b^{3}+b^{3})\geq \sum ab^{2}
\Rightarrow 2abc(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 2abc(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongvanhehe: 27-07-2012 - 16:23

[WhjteShadow]

Hì bài 1 em làm cách thế này có vẻ đẹp hơn a duongvan
Đặt $D=(a^2+2bc)(b^2+2ac)(c^2+2ab)$
$A=abc(a+2b)(b+2c)(c+2a)=(a^2+2ab)(b^2+2bc)(c^2+2ca)$
$B=abc(2a+b)(2b+c)(2c+a)=(b^2+2ab)(c^2+2bc)(a^2+2ca)$
The0 bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ thì:
$D.A=[(a^2+2bc)(b^2+2bc)][(b^2+2ac)(c^2+2ac)][(c^2+2ab)(a^2+2ab)]\geq b^2(a+2c)^2.c^2(b+2a)^2.a^2(c+2b)^2=B^2$
Chứng minh tương tự ta cũng có $D.B\geq A^2$
Vì thế $D^3.A\geq D^2.B^2\geq A^4$
$\to D\geq A$ (ĐPCM)

[chinhtam0701]

1. Đặt $x=\frac{a}{b}, y=\frac{b}{c}, z=\frac{c}{a}$ thì ta có x, y, z >0 và xyz=1. Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành:
$\left ( 1+\frac{2x}{y} \right )\left ( 1+\frac{2y}{z} \right )\left ( 1+\frac{2z}{x} \right )\geq \left ( 2+x \right )\left ( 2+y \right )\left ( 2+z \right ) \Leftrightarrow \sum \frac{x}{y}+2\sum \frac{y}{x}\geq 2\sum x+\sum xy$
Đến đây ta sử dụng AM-GM để chứng minh $\sum \frac{x}{y}\geq \sum x$ và $\sum \frac{y}{x}\geq \sum xy$. Thật vậy ta có
$2\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^{2}}{yz}}=3x$, $2\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3y$, $2\frac{z}{x}+\frac{x}{y}\geq 3z$ $\Rightarrow \sum \frac{x}{y}\geq \sum x$. Bằng cách thay $\left ( x, y, z \right )$ bởi $\left ( \frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z} \right )$ ta có $\sum \frac{y}{x}\geq \sum xy$. Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c>0$
2. Sử dụng AM-GM (Bất đẳng thức Cauchy) là ra.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chinhtam0701: 30-07-2012 - 13:55