Chủ đề này có 2 trả lời

[duongvanhehe]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$\frac{(a+b)^{2}}{7a^{2}+4ab+b^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{7b^{2}+4bc+c^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{7c^{2}+4ca+a^{2}}\geq 1$
_______________

[alex_hoang]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$\frac{(a+b)^{2}}{7a^{2}+4ab+b^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{7b^{2}+4bc+c^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{7c^{2}+4ca+a^{2}}\geq 1$
_______________

Điều kiện không cho phép nên anh chỉ nêu hướng thôi nhé .Em thông cảm
Đặt $x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$ thế vậy ta đưa biểu thức về dạng
\[P = \frac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{7{x^2} + 4x + 1}} + \frac{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}}{{7{y^2} + 4y + 1}} + \frac{{{{\left( {z + 1} \right)}^2}}}{{7{z^2} + 4z + 1}}\]
Đến đây thì ta tìm $k$ sao cho BĐT sau đúng với mọi số thực dương $t$
\[\frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}{{7{t^2} + 4t + 1}} \ge \frac{1}{3} + k\ln t\]

[WhjteShadow]

A Hoàng ơi đây là b0x THCS mà anh T.T
Đặt $x=\frac{b}{a},y=\frac{c}{b},z=\frac{a}{c}$ ($x,y,z>0$) Ta có $xyz=1$ và cần chứng minh:
$$\frac{(x+1)^2}{x^2+4x+7}+\frac{(y+1)^2}{y^2+4y+7}+\frac{(z+1)^2}{z^2+4z+7}\geq 1$$
Nhưng the0 bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engle$ ta có:
$\frac{(x+1)^2}{x^2+4x+7}+\frac{(y+1)^2}{y^2+4y+7}+\frac{(z+1)^2}{z^2+4z+7}\geq \frac{(x+y+z+3)^2}{x^2+y^2+z^2+4(x+y+z)+21}$
Vậy công việc còn lại là chỉ phải chứng minh:
$\frac{(x+y+z+3)^2}{x^2+y^2+z^2+4(x+y+z)+21}\geq 1$
$\Leftrightarrow (x+y+z+3)^2\geq x^2+y^2+z^2+4(x+y+z)+21$
$\Leftrightarrow 2(x+y+z)+2(xy+yz+zx)\geq 6$
Điều này đúng vì $x+y+z+xy+yz+zx\geq 6\sqrt[6]{x^3y^3z^3}=6$
Vậy bđt được chứng minh.Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$ hay $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 28-07-2012 - 19:28