Chủ đề này có 2 trả lời

[daothanhoai]

1. Với $a,b,c,r\geq 0$ chứng minh bất đẳng thức sau

$a^r(a^2-b^2)(c+a)+b^r(b^2-c^2)(a+b)+c^r(c^2-a^2)(b+c)\geq 0$

2. Tìm vài ví dụ ứng dụng bất đẳng thức trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 31-07-2012 - 19:21

[le_hoang1995]

1. Với $a,b,c,r\geq 0$ chứng minh bất đẳng thức sau

$a^r(a^2-b^2)(c+a)+b^r(b^2-c^2)(a+b)+c^r(c^2-a^2)(b+c)\geq 0$

Không mất tổng quát, giả sử a là số lớn nhất.
Xét hàm số $f(a)=VT$
$$f'(a)=r.a^{r-1}(a^2-b^2)(a+c)+2a^{r+1}(a+c)+a^r(a^2-b^2)+b^r(b^2-c^2)-2ac^r(b+c)$$ Dễ thấy $f'(a) \ge 0$ vì $2a^{r+1}(a+c)\geq 2ac^r(b+c)$. Suy ra hàm số đồng biến.

TH1 $a\ge b\ge c$. $$\Rightarrow f(a)\ge f(b)=2b^{r+1}(b^2-c^2)+c^r(c^2-b^2)(b+c)=(b^2-c^2)(2b^{r+1}-bc^r-c^{r+1})\geq 0$$
TH2 $a\ge c\ge b$ $$\Rightarrow f(a)\geq f©=2c^{r+1}(c^2-b^2)+b^r(b^2-c^2)(c+b)=(c^2-b^2)(2c^{r+1}-b^rc-b^{r+1})\geq 0$$
ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 01-01-2013 - 01:41

[daothanhoai]

Không mất tổng quát, giả sử a là số lớn nhất.
Xét hàm số $f(a)=VT$
$$f'(a)=r.a^{r-1}(a^2-b^2)(a+c)+2a^{r+1}(a+c)+a^r(a^2-b^2)+b^r(b^2-c^2)-2ac^r(b+c)$$ Dễ thấy $f'(a) \ge 0$ vì $2a^{r+1}(a+c)\geq 2ac^r(b+c)$. Suy ra hàm số đồng biến.

TH1 $a\ge b\ge c$. $$\Rightarrow f(a)\ge f(b)=2b^{r+1}(b^2-c^2)+c^r(c^2-b^2)(b+c)=(b^2-c^2)(2b^{r+1}-bc^r-c^{r+1})\geq 0$$
TH2 $a\ge b\ge c$ $$\Rightarrow f(a)\geq f©=2c^{r+1}(c^2-b^2)+b^r(b^2-c^2)(c+b)=(c^2-b^2)(2c^{r+1}-b^rc-b^{r+1})\geq 0$$
ĐPCM

Em thử tìm một số ví dụ ứng dụng bất đẳng thức trên xem?