Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenletuan]

Cho hai số $m, n \in N$ và $(m,n)=d$
Tìm $(2006^m+1,2006^n+1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenletuan: 01-08-2012 - 17:05

[nguyenta98]

Cho hai số $m, n \in N$ và $(m,n)=d$
Tìm $(2006^m+1,2006^n+1)$

Giải như sau:
Đặt $m=dx,n=dy,gcd(x,y)=1$
Suy ra $\left((2006^d)^x+1,(2006^d)^y+1\right)=p$
$(2006^d)^{2x}-1 \vdots p$ và $(2006^d)^{2y}-1 \vdots p$
Mặt khác theo bài http://diendantoanho...-am-1an-1amn-1/
Suy ra $\left((2006^d)^{2x}-1,(2006^d)^{2y}-1\right)=(2006^d)^{(2x,2y)}-1=(2006^d)^2-1$
Như vậy $p|(2006^d)^2-1$
Giả sử $r|p$ với $r$ nguyên tố suy ra $r|(2006^d)^2-1 \Rightarrow 2006^d \equiv \pm1 \pmod{r}$
Nếu $2006^d \equiv 1 \pmod{r} \Rightarrow (2006^d)^x+1 \equiv 2 \pmod{r} \Rightarrow r=2$ nhưng khi ấy $(2006^d)^x+1 \vdots 2$ vô lý
Nên suy ra mọi ước của $p$ không thể là ước của $2006^d-1$
Suy ra $2006^d \equiv -1 \pmod{r}$
TH1: $x,y$ khác tính chẵn lẻ giả sử $x$ chẵn suy ra tương tự $(2006^d)^x+1 \equiv (-1)^x+1 \equiv 2 \pmod{r} \Rightarrow r=2$ và cũng loại
TH2: $x,y$ cùng lẻ
Ta có $p|(2006^d)^2-1$
Mà $x,y$ cùng lẻ nên $\left((2006^d)^x+1,(2006^d)^y+1\right)=p \vdots (2006^d)+1$
Suy ra $p \vdots (2006^d)+1 \Rightarrow p=((2006^d)+1).k$
Mà $p|(2006^d)^2-1 \Rightarrow k|(2006^d)-1 \Rightarrow (2006^d) \equiv 1 \pmod{k}$
Suy ra $(2006^d)^x+1 \equiv 2 \pmod{k}$ mà $(2006^d)^x+1 \vdots p \vdots k \Rightarrow 2 \vdots k \Rightarrow k=1,2$ nhưng $(2006^d)^x$ lẻ nên suy ra loại suy ra $k=1 \Rightarrow p=2006^d+1$
Vậy $\left(2006^m+1,2006^n+1\right)=(2006^d)+1$ hoặc $1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 01-08-2012 - 19:07